Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Supongamos que, cuando un cliente entra en una tienda de electrodomésticos, el tiempo que pasa dentro viene dado por una variable aleatoria $X$ que sigue una distribución normal de media poblacional $\mu =15$ minutos y desviación típica $\sigma =10$ minutos: $X\sim N(15,10)$.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente esté dentro de la tienda 25 minutos o menos? [1 punto]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente esté dentro de la tienda entre 5 y 25 minutos? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tienda}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{minutos}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{menos?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La variable $X$ sigue una distribución $N(15,10)$, que no es la normal estándar, de manera que hay que tipificar antes de acudir a la tabla.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-15}{10}}\Rightarrow Z\sim N(0,1)$

$P(X\le 25)=P(Z\le {\displaystyle \frac{25-15}{10}})=P(Z\le 1)$

Se busca directamente en la tabla de la $N(0,1)$.

$P(Z\le 1)=\mathrm{0,8413}$

La probabilidad de que un cliente esté dentro de la tienda 25 minutos o menos es de $\mathrm{0,8413}$, es decir, un 84,13 %.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tienda}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{minutos?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se tipifican los dos extremos del intervalo.

$P(5\le X\le 25)=P({\displaystyle \frac{5-15}{10}}\le Z\le {\displaystyle \frac{25-15}{10}})=P(-1\le Z\le 1)$

La probabilidad de un intervalo es la diferencia de las probabilidades acumuladas en sus extremos.

$P(-1\le Z\le 1)=P(Z\le 1)-P(Z\le -1)$

La tabla solo da valores positivos de $z$, así que para el extremo negativo se usa la simetría de la campana respecto del eje $z=0$.

$P(Z\le -1)=1-P(Z\le 1)=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$

$P(-1\le Z\le 1)=\mathrm{0,8413}-\mathrm{0,1587}=\mathrm{0,6826}$

La probabilidad de que un cliente esté dentro de la tienda entre 5 y 25 minutos es de $\mathrm{0,6826}$, es decir, un 68,26 %. Es el conocido resultado de que en una distribución normal algo más de dos tercios de los casos caen a menos de una desviación típica de la media.