Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2020

Un protón se mueve en dirección positiva del eje $OY$ en una región donde existe un campo eléctrico $\vec{E}=\mathrm{3,0}\cdot {10}^5\vec{k}\text{ N/C}$ y un campo magnético $\vec{B}=\mathrm{0,60}\vec{\mathrm{ı}}\text{ T}$.

a) Haga una representación esquemática de las fuerzas que actúan sobre el protón indicando claramente los ejes, direcciones y sentidos. ¿En qué condiciones el protón no se desvía? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

b) Un electrón que se mueve con una velocidad $\vec{v}=5\cdot {10}^5\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ m/s}$ entra en esta región. ¿El electrón se desviará? En caso afirmativo, indique hacia qué dirección se desvía. Justifique la respuesta representando esquemáticamente las fuerzas que actúan sobre el electrón. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{fuerzas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{act}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{condiciones}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desv}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










La fuerza eléctrica sobre el protón tiene la misma dirección y sentido que el campo:

${\vec{F}}_E=q\vec{E}=+e\cdot \mathrm{3,0}\cdot {10}^5\vec{k}$

es decir, en el sentido positivo del eje $Z$.

La fuerza magnética se obtiene de la ley de Lorentz:

${\vec{F}}_B=q\vec{v}\times \vec{B}=e\left(v\vec{\mathrm{ȷ}}\right)\times \left(\mathrm{0,60}\vec{\mathrm{ı}}\right)$





Y como $\vec{\mathrm{ȷ}}\times \vec{\mathrm{ı}}=-\vec{k}$:

${\vec{F}}_B=-ev\cdot \mathrm{0,60}\vec{k}$

es decir, en el sentido negativo del eje $Z$. Las dos fuerzas tienen la misma dirección y sentidos opuestos.

El protón no se desvía cuando la fuerza total es nula, o sea, cuando los módulos coinciden:

$eE=evB\Rightarrow v=\frac{E}{B}$

$v=\frac{\mathrm{3,0}\cdot {10}^5}{\mathrm{0,60}}$

$v=\mathrm{5,0}\cdot {10}^5\text{m/s}$

Obsérvese que la condición no depende ni de la carga ni de la masa: es el principio del selector de velocidades.



Se repite el razonamiento cambiando el signo de la carga. Ahora la fuerza eléctrica es opuesta al campo:

${\vec{F}}_E=(-e)\cdot \mathrm{3,0}\cdot {10}^5\vec{k}$

es decir, en el sentido negativo del eje $Z$.

Y la fuerza magnética también cambia de sentido:

${\vec{F}}_B=(-e)\left(v\vec{\mathrm{ȷ}}\right)\times \left(\mathrm{0,60}\vec{\mathrm{ı}}\right)=+ev\cdot \mathrm{0,60}\vec{k}$

es decir, en el sentido positivo del eje $Z$.

Las dos fuerzas han cambiado de sentido a la vez, de modo que siguen siendo opuestas entre sí. Sus módulos son:

$F_E=eE=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{3,0}\cdot {10}^5=\mathrm{4,81}\cdot {10}^{-14}\text{N}$

$F_B=evB=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\cdot 5\cdot {10}^5\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{4,81}\cdot {10}^{-14}\text{N}$

Coinciden, porque la velocidad del electrón es exactamente $E\mathrm{/}B$, la velocidad de selección hallada en el apartado anterior.

El electrón, por tanto, tampoco se desvía: atraviesa la región en línea recta y con velocidad constante. El resultado confirma que el selector de velocidades filtra por velocidad y no por el signo de la carga.