Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2021

Un alternador consiste en una bobina de 100 espiras rectangulares. Las dimensiones de los lados largo y corto de la bobina son $\mathrm{2,0}\text{ cm}$ y $\mathrm{1,6}\text{ cm}$, respectivamente. La bobina gira con una frecuencia de 60 vueltas por segundo dentro de un campo magnético uniforme de magnitud $B=\mathrm{0,1}\text{ T}$. La orientación relativa entre el campo magnético y la bobina viene dada por el ángulo $\theta$ que forman el campo magnético y el vector $\vec{S}$ perpendicular al plano que contiene la bobina.



a) Determine el valor del flujo del campo magnético a través de una espira de la bobina cuando el campo magnético es perpendicular a la superficie de la espira (ángulo $\theta =0\text{ rad}$) y para una orientación cualquiera (indique el resultado en función del ángulo $\theta$). [1,25 puntos]

b) A partir del flujo del campo magnético a través de la bobina, determine la evolución de la fuerza electromotriz en función del tiempo, suponiendo que inicialmente el ángulo $\theta$ es igual a $0\text{ rad}$. Calcule el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida en la bobina. [1,25 puntos]

El flujo del campo magnético a través de una superficie plana es el producto escalar del campo por el vector superficie:

$\mathrm{\Phi }=\vec{B}\cdot \vec{S}=BS\cos \theta$

La superficie de cada espira rectangular es:

$S=\mathrm{2,0}\text{ cm}\cdot \mathrm{1,6}\text{ cm}=\mathrm{0,020}\cdot \mathrm{0,016}=\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-4}{\text{m}}^2$

Cuando el campo es perpendicular a la superficie de la espira, el ángulo es nulo y el coseno vale la unidad, de modo que el flujo es máximo:

$\mathrm{\Phi }(0)=BS=\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{3,2}\cdot {10}^{-4}$

$\mathrm{\Phi }(0)=\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-5}\text{Wb}$

Y para una orientación cualquiera:

$\mathrm{\Phi }(\theta )=\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-5}\cos \theta \text{ Wb}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{evoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{electromotriz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La bobina gira con velocidad angular constante, de modo que el ángulo crece uniformemente con el tiempo. Como en el instante inicial el ángulo es nulo:

$\theta =\omega t\omega =2\pi f=2\pi \cdot 60=377\text{rad/s}$

$\mathrm{\Phi }(t)=BS\cos (\omega t)$

Aplicando la ley de Faraday-Lenz a una bobina de $N$ espiras:

$\epsilon =-N\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=-NBS\frac{d}{dt}\cos (\omega t)$

$\epsilon (t)=NBS\omega \sin (\omega t)$

La fuerza electromotriz es sinusoidal y de la misma frecuencia que el giro: este es el principio de funcionamiento de un alternador.

Su valor máximo se alcanza cuando el seno vale la unidad:

${\epsilon }_{\max }=NBS\omega =100\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{3,2}\cdot {10}^{-4}\cdot 377$

${\epsilon }_{\max }=\mathrm{1,21}\text{V}$

Obsérvese que la fuerza electromotriz es máxima cuando el flujo es nulo, es decir, cuando la espira es paralela al campo, porque es entonces cuando el flujo varía más deprisa.