Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 4
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 4.1 o APARTADO 4.2
APARTADO 4.1 [2,5 puntos]
Una bolsa contiene tres cartas del mismo tamaño con caras de diferentes colores.
Una carta es roja por las dos caras, otra tiene una cara blanca y otra roja, y la tercera tiene una cara negra y otra blanca.
Se saca una carta al azar y se muestra, también al azar, una de sus caras.

a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea roja?
b) [1,5 puntos] Si la cara mostrada es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara sea roja?

El experimento tiene dos etapas: primero se elige la carta y después se elige, dentro de ella, la cara que se muestra. Se nombran las tres cartas por sus dos caras.

$C_1=\text{roja-roja},\qquad C_2=\text{blanca-roja},\qquad C_3=\text{negra-blanca}$

Como la carta se saca al azar entre tres, y la cara se muestra también al azar entre las dos de esa carta:

$P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\dfrac{1}{3}$

Se construye el diagrama de árbol con las dos etapas.



$\textbf{a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea roja?}$

Se aplica el teorema de la probabilidad total sobre las tres cartas, sumando las ramas del árbol que terminan en una cara roja.

$P(R)=P(C_1)\cdot P(R\mid C_1)+P(C_2)\cdot P(R\mid C_2)+P(C_3)\cdot P(R\mid C_3)$

La carta $C_1$ es roja por las dos caras, la $C_2$ solo por una y la $C_3$ por ninguna.

$P(R)=\dfrac{1}{3}\cdot 1+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\cdot 0=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}$

La probabilidad de que la cara mostrada sea roja es $\frac{1}{2}=0{,}5$, es decir, un $50\%$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Si la cara mostrada es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara sea roja?}$

Ahora se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera, así que se aplica el teorema de Bayes. La única carta con una cara blanca y la otra roja es la $C_2$, de modo que lo pedido es $P(C_2\mid B)$.

Primero se calcula la probabilidad de mostrar una cara blanca, de nuevo por probabilidad total:

$P(B)=\dfrac{1}{3}\cdot 0+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}$

$P(C_2\mid B)=\dfrac{P(C_2)\cdot P(B\mid C_2)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}$

Sabiendo que la cara mostrada es blanca, la probabilidad de que la otra cara sea roja es $\frac{1}{2}=0{,}5$, es decir, un $50\%$.