Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Pregunta 4.2. La probabilidad de que un corredor sufra una caída en un día con lluvia es de $\mathrm{0,08}$ y en un día seco es de $\mathrm{0,004}$. La probabilidad de que llueva y se caiga es de $\mathrm{0,032}$. Hoy un corredor ha salido. Se pide:

a) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que vuelva a casa sin haberse caído.

b) (1.25 puntos) Hallar la probabilidad de que, sabiendo que se ha caído, no esté lloviendo.

Nombramos los sucesos: $L$, que el día sea lluvioso, y $C$, que el corredor se caiga. El enunciado da las dos probabilidades de caída condicionadas al tiempo y la de que ocurran las dos cosas a la vez.

$P(C\mid L)=\mathrm{0,08};P(C\mid \bar{L})=\mathrm{0,004};P(L\cap C)=\mathrm{0,032}$

De la definición de probabilidad condicionada sale la probabilidad de que llueva, que es el dato que falta para completar el árbol.

$P(L\cap C)=P(L)\cdot P(C\mid L)\Rightarrow P(L)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,032}}{\mathrm{0,08}}}=\mathrm{0,4}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{vuelva}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{casa}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{haberse}}\mathbf{\text{ca}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{do.}}$

Que llueva y que no llueva forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sobre las ramas que acaban en $\bar{C}$.

$P(\bar{C})=P(L)P(\bar{C}\mid L)+P(\bar{L})P(\bar{C}\mid \bar{L})$

$=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,92}+\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,996}=\mathrm{0,368}+\mathrm{0,5976}$

$P(\bar{C})=\mathrm{0,9656}$

La probabilidad de que el corredor vuelva a casa sin haberse caído es $\mathrm{0,9656}$, un $\mathrm{96,56}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{ca}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{do,}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lloviendo.}}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, de modo que aplicamos el teorema de Bayes. El denominador es el complementario del apartado anterior.

$P(\bar{L}\mid C)={\displaystyle \frac{P(\bar{L})P(C\mid \bar{L})}{P(C)}}$

$P(C)=1-\mathrm{0,9656}=\mathrm{0,0344}$

$P(\bar{L}\mid C)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,004}}{\mathrm{0,0344}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0024}}{\mathrm{0,0344}}}=\mathrm{0,0698}$

Si el corredor se ha caído, la probabilidad de que no estuviera lloviendo es de solo un $\mathrm{6,98}\mathrm{\%}$: la inmensa mayoría de las caídas se producen los días de lluvia.