Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Supongamos que la probabilidad de tener tuberculosis es de 0,0005. Sabiendo que la probabilidad de que la prueba dé positivo cuando la enfermedad está presente es del 99 % y que la probabilidad de que dé negativo cuando no lo está también es del 99 %, conteste:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el test dé positivo si la persona no tiene la enfermedad? [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de tener tuberculosis si el resultado de la prueba es negativo? [1,25 puntos]

Nombramos los sucesos:

$T\equiv$ la persona tiene tuberculosis

$+\equiv$ la prueba da positivo

Los datos son $P(T)=\mathrm{0,0005}$, $P(+\mathrm{\mid }T)=\mathrm{0,99}$ y $P(-\mathrm{\mid }\bar{T})=\mathrm{0,99}$. Como el experimento tiene dos etapas —estar o no enfermo y, después, el resultado de la prueba—, lo organizamos en un árbol.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{positivo}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{enfermedad?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se pide $P(+\mathrm{\mid }\bar{T})$. Dentro de la rama de los sanos, dar positivo y dar negativo son sucesos contrarios, así que basta pasar al complementario del dato.

$P(+\mathrm{\mid }\bar{T})=1-P(-\mathrm{\mid }\bar{T})=1-\mathrm{0,99}=\mathrm{0,01}$

La probabilidad de que el test dé positivo en una persona sana es $\mathrm{0,01}$, es decir, un $1\mathrm{\%}$ de falsos positivos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{tuberculosis}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{negativo?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora hay que invertir el condicionamiento del árbol, de modo que aplicamos el teorema de Bayes. Calculamos primero la probabilidad de dar negativo por el teorema de la probabilidad total, sumando las dos ramas que acaban en $-$.

$P(-)=P(T)\cdot P(-\mathrm{\mid }T)+P(\bar{T})\cdot P(-\mathrm{\mid }\bar{T})$

$P(-)=\mathrm{0,0005}\cdot \mathrm{0,01}+\mathrm{0,9995}\cdot \mathrm{0,99}=\mathrm{0,000005}+\mathrm{0,989505}=\mathrm{0,98951}$

$P(T\mathrm{\mid }-)={\displaystyle \frac{P(T)\cdot P(-\mathrm{\mid }T)}{P(-)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,000005}}{\mathrm{0,98951}}}$

$P(T\mathrm{\mid }-)={\displaystyle \frac{1}{197902}}\approx \mathrm{0,0000051}$

La probabilidad de tener tuberculosis después de un resultado negativo es de aproximadamente $\mathrm{0,0000051}$, es decir, unos cinco casos por cada millón de negativos: un resultado negativo prácticamente descarta la enfermedad.