Ejercicio resuelto de Constante de equilibrio Kp · Química · 2021

El 14 de enero de 2020 se produjo una gran explosión en una industria de Tarragona dedicada a la fabricación de óxido de etileno. Este producto químico se obtiene a partir de la oxidación del etileno con un exceso de oxígeno, empleando plata como catalizador, según la ecuación química siguiente:

$\mathrm{2\,C_2H_4(g) + O_2(g)} \xrightleftharpoons{\mathrm{Ag(s)}} \mathrm{2\,C_2H_4O(g)} \qquad \Delta H^\circ\ (\text{a } 298\ \mathrm{K}) = -210\ \mathrm{kJ}$

a) En un reactor de 1,00 L, y a la temperatura de 298 K, conseguimos obtener 0,51 mol de óxido de etileno haciendo reaccionar 2,5 mol de etileno y 1,0 mol de oxígeno en presencia de plata. Determine el valor de la constante de equilibrio en concentraciones ($K_c$) a 298 K. Diga si el valor de la constante de equilibrio en presiones ($K_p$) es igual o diferente que el valor de la constante de equilibrio en concentraciones a 298 K, y justifique la respuesta. [1,25 puntos]
b) ¿Tendremos un rendimiento de la reacción más favorable si la llevamos a cabo en un reactor de 1,00 L y a la temperatura de 400 K? ¿Y si la llevamos a cabo en un reactor de 0,50 L y a la temperatura de 298 K? Si mantenemos el volumen y la temperatura del reactor (1,00 L y 298 K), pero no introducimos plata, ¿disminuiría la concentración de óxido de etileno cuando se alcanzase el equilibrio? Razone las respuestas. [1,25 puntos]

Dato: Constante de los gases ideales: $R = 8{,}31\ \mathrm{J\ K^{-1}\ mol^{-1}} = 0{,}082\ \mathrm{atm\ L\ K^{-1}\ mol^{-1}}$.

$\textbf{a) En un reactor de 1,00 L y a 298 K obtenemos 0,51 mol de óxido de etileno haciendo reaccionar 2,5 mol de etileno y 1,0 mol de oxígeno. Determine el valor de } \boldsymbol{K_c} \textbf{ a 298 K. Diga si el valor de } \boldsymbol{K_p} \textbf{ es igual o diferente y justifique la respuesta. (1,25 puntos)}$

Con la estequiometría se retrocede desde el producto obtenido a lo que ha reaccionado: por cada 2 mol de óxido de etileno formados se consumen 2 de etileno y 1 de oxígeno.

$\Delta n(\mathrm{C_2H_4}) = 0{,}51\ \text{mol} \qquad \Delta n(\mathrm{O_2}) = \frac{0{,}51}{2} = 0{,}255\ \text{mol}$

$$	$\mathrm{C_2H_4}$	$\mathrm{O_2}$	$\mathrm{C_2H_4O}$ Inicial (mol)	2,50	1,00	0 Cambio (mol)	−0,51	−0,255	+0,51 Equilibrio (mol)	1,99	0,745	0,51

Como el reactor tiene 1,00 L, las concentraciones coinciden numéricamente con los moles:

$K_c = \frac{[\mathrm{C_2H_4O}]^2}{[\mathrm{C_2H_4}]^2\,[\mathrm{O_2}]} = \frac{(0{,}51)^2}{(1{,}99)^2 \cdot 0{,}745} = \frac{0{,}2601}{2{,}950}$

$K_c = 8{,}8 \cdot 10^{-2}$

Sobre la segunda pregunta, las dos constantes están relacionadas por

$K_p = K_c\,(R\,T)^{\Delta n}$

y coinciden únicamente cuando $\Delta n = 0$, es decir, cuando el número de moles de gas no cambia. Aquí hay 3 moles de gas a la izquierda y 2 a la derecha:

$\Delta n = 2 - (2 + 1) = -1$

Al ser distinto de cero, los valores son $\textbf{diferentes}$:

$K_p = \frac{K_c}{R\,T} = \frac{8{,}8 \cdot 10^{-2}}{0{,}082 \cdot 298} = \frac{8{,}8 \cdot 10^{-2}}{24{,}4} = 3{,}6 \cdot 10^{-3}$

Que $K_p$ salga menor que $K_c$ es lo esperable, porque $\Delta n$ es negativo.

$\textbf{b) ¿Tendremos un rendimiento más favorable en un reactor de 1,00 L a 400 K? ¿Y en un reactor de 0,50 L a 298 K? Si mantenemos el volumen y la temperatura pero no introducimos plata, ¿disminuiría la concentración de óxido de etileno en el equilibrio? (1,25 puntos)}$

i) A 400 K, en el mismo reactor. La reacción es exotérmica, $\Delta H^\circ = -210$ kJ, así que el calor se comporta como un producto. Al subir la temperatura de 298 a 400 K, el equilibrio se desplaza en el sentido que absorbe calor, es decir, hacia los reactivos: el rendimiento en óxido de etileno $\textbf{disminuye}$, y además la constante de equilibrio, que solo depende de la temperatura, se hace menor. El rendimiento $\textbf{no}$ es más favorable.

ii) En un reactor de 0,50 L a 298 K. Reducir el volumen a la mitad equivale a duplicar la presión. Como $\Delta n = -1$, hay menos moles de gas en el lado de los productos, y el sistema responde desplazándose hacia el lado que ocupa menos volumen, es decir, hacia el óxido de etileno. El rendimiento $\textbf{aumenta}$: sí es más favorable. La constante no cambia, porque la temperatura es la misma; lo que se reajusta son las concentraciones.

iii) Sin plata, manteniendo 1,00 L y 298 K. La plata actúa aquí como catalizador. Un catalizador no aparece en la expresión de la constante ni altera las funciones termodinámicas de la reacción: se limita a rebajar por igual la energía de activación de los procesos directo e inverso. Por tanto, la constante de equilibrio y las concentraciones en el equilibrio son exactamente las mismas con plata y sin ella, y la concentración de óxido de etileno $\textbf{no disminuiría}$.

Lo que sí cambiaría, y mucho, es el tiempo necesario para llegar a ese equilibrio. Sin catalizador la reacción sería tan lenta que en la práctica industrial no se alcanzaría el equilibrio en un tiempo útil, y la cantidad de óxido de etileno recogida al cabo de un rato sería mucho menor. Conviene no confundir ese efecto cinético con el rendimiento termodinámico, que es el que pregunta el enunciado.