Ejercicio resuelto de Constante de equilibrio Kp · Química · 2020

PREGUNTA 6
En un recipiente cerrado se introducen 2,0 moles de $\mathrm{CH_4}$ y 1,0 mol de $\mathrm{H_2S}$ a la temperatura de 727 ºC, estableciéndose el siguiente equilibrio: $\mathrm{CH_{4(g)}} + 2\,\mathrm{H_2S_{(g)}} \rightleftarrows \mathrm{CS_{2(g)}} + 4\,\mathrm{H_{2(g)}}$. Una vez alcanzado el equilibrio, la presión parcial del $\mathrm{H_2}$ es 0,20 atm y la presión total es de 0,85 atm. Calcule:

6.1. Los moles de cada sustancia en el equilibrio y el volumen del recipiente.
6.2. El valor de $K_c$ y $K_p$.

Datos: R = 8,31 $\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}$ o 0,082 $\mathrm{atm\cdot L\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}$; 1 atm = 101,3 kPa.

$\textbf{6.1. Los moles de cada sustancia en el equilibrio y el volumen del recipiente. (1 punto)}$

Llamando $x$ a los moles de metano que reaccionan y aplicando la estequiometría:

$\mathrm{CH_4(g)} + 2\,\mathrm{H_2S(g)} \rightleftharpoons \mathrm{CS_2(g)} + 4\,\mathrm{H_2(g)}$

$$	$\mathrm{CH_4}$	$\mathrm{H_2S}$	$\mathrm{CS_2}$	$\mathrm{H_2}$	Total Inicial (mol)	2,0	1,0	0	0	3,0 Cambio (mol)	$-x$	$-2x$	$+x$	$+4x$	$+2x$ Equilibrio (mol)	$2-x$	$1-2x$	$x$	$4x$	$3+2x$

El dato que permite calcular $x$ es la presión parcial del hidrógeno, que según la ley de Dalton es la fracción molar por la presión total:

$\dfrac{p(\mathrm{H_2})}{P_{\text{total}}} = \chi(\mathrm{H_2}) = \dfrac{4x}{3 + 2x} = \dfrac{0{,}20}{0{,}85} = 0{,}2353$

$4x = 0{,}7059 + 0{,}4706\,x \quad \Rightarrow \quad 3{,}529\,x = 0{,}7059$

$x = 0{,}20\ \mathrm{mol}$

Los moles en el equilibrio son, por tanto:

$n(\mathrm{CH_4}) = 2{,}0 - 0{,}20 = 1{,}8\ \mathrm{mol}$

$n(\mathrm{H_2S}) = 1{,}0 - 2 \cdot 0{,}20 = 0{,}60\ \mathrm{mol}$

$n(\mathrm{CS_2}) = 0{,}20\ \mathrm{mol} \qquad n(\mathrm{H_2}) = 4 \cdot 0{,}20 = 0{,}80\ \mathrm{mol}$

$n_{\text{total}} = 3{,}4\ \mathrm{mol}$

El volumen se obtiene con la ecuación de los gases ideales aplicada a la mezcla, con $T = 727 + 273 = 1000$ K:

$V = \dfrac{n_{\text{total}}\,R\,T}{P_{\text{total}}} = \dfrac{3{,}4 \cdot 0{,}082 \cdot 1000}{0{,}85} = \dfrac{278{,}8}{0{,}85}$

$V = 328\ \mathrm{L}$

$\textbf{6.2. El valor de } \boldsymbol{K_c} \textbf{ y } \boldsymbol{K_p} \textbf{. (1 punto)}$

Conviene empezar por $K_p$, que sale directamente de las presiones parciales sin necesidad del volumen. Cada una es la fracción molar por la presión total:

$p(\mathrm{CH_4}) = \dfrac{1{,}8}{3{,}4} \cdot 0{,}85 = 0{,}45\ \mathrm{atm}$

$p(\mathrm{H_2S}) = \dfrac{0{,}60}{3{,}4} \cdot 0{,}85 = 0{,}15\ \mathrm{atm}$

$p(\mathrm{CS_2}) = \dfrac{0{,}20}{3{,}4} \cdot 0{,}85 = 0{,}050\ \mathrm{atm}$

$p(\mathrm{H_2}) = \dfrac{0{,}80}{3{,}4} \cdot 0{,}85 = 0{,}20\ \mathrm{atm}$

Este último coincide con el dato del enunciado, lo que confirma el valor de $x$.

$K_p = \dfrac{p(\mathrm{CS_2})\,p(\mathrm{H_2})^4}{p(\mathrm{CH_4})\,p(\mathrm{H_2S})^2} = \dfrac{0{,}050 \cdot (0{,}20)^4}{0{,}45 \cdot (0{,}15)^2} = \dfrac{8{,}0 \cdot 10^{-5}}{1{,}01 \cdot 10^{-2}}$

$K_p = 7{,}9 \cdot 10^{-3}$

Para $K_c$ se usa la relación entre ambas, con la variación del número de moles de gas:

$\Delta n = (1 + 4) - (1 + 2) = 2$

$K_c = \dfrac{K_p}{(R\,T)^{\Delta n}} = \dfrac{7{,}9 \cdot 10^{-3}}{(0{,}082 \cdot 1000)^2} = \dfrac{7{,}9 \cdot 10^{-3}}{6724}$

$K_c = 1{,}2 \cdot 10^{-6}$

El valor tan pequeño indica que el equilibrio está muy desplazado hacia los reactivos, coherente con que solo haya reaccionado el 10 % del metano.