Ejercicio resuelto de Cálculo de las constantes Ka y Kb · Química

3A Muchos ácidos carboxílicos se emplean como aditivos alimentarios. Por ejemplo, el ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\text{-}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$ tiene efecto antimicrobiano y es eficaz como conservante si su pH es inferior a 5. Se dispone de una disolución acuosa 0,04 M de este ácido, disociada en un 4%. Responda a las siguientes cuestiones:

a) Nombre el ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\text{-}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$. (0,20 puntos)
b) Calcule el pH de la disolución y, en función del valor obtenido, determine si será efectiva como conservante. (0,80 puntos)
c) Calcule el valor de $K_a$ para el ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\text{-}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$. (0,40 puntos)
d) Compruebe si el valor de $K_a$ obtenido es compatible con un valor de $K_b=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-10}$ para el ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\text{-}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{N}\mathrm{a}$. (0,30 puntos)
e) Explique cualitativamente cómo variará el pH de la disolución de ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\text{-}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$ si se adiciona una cierta cantidad de benzoato de sodio. (0,30 puntos)

${\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Nombre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{C}}}_6{\mathbf{\text{H}}}_5\mathbf{\text{-COOH.}}\mathbf{\text{(0,20}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es el ácido benzoico, o ácido bencenocarboxílico: un anillo bencénico con un grupo $-\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pH}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{obtenido,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{efectiva}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{conservante.}}\mathbf{\text{(0,80}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El ácido benzoico es débil y se disocia parcialmente:

${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\text{-}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}(\mathrm{a}\mathrm{c})+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}(\mathrm{l})\rightleftharpoons {\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\text{-}\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}(\mathrm{a}\mathrm{c})+{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}(\mathrm{a}\mathrm{c})$

$$	${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\text{-}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$	${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\text{-}\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}$	${\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}$ Inicial (M)	c	0	0 Equilibrio (M)	c(1 − α)	cα	cα

El grado de disociación da directamente la concentración de protones:

$[{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]=c\alpha =\mathrm{0,04}\cdot \mathrm{0,04}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-3}\text{ mol/L}$

$\mathrm{p}\mathrm{H}=-\log (\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-3})=\mathrm{2,8}$

Como el pH resulta 2,8 y el enunciado exige que sea inferior a 5, la disolución $\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}$ será efectiva como conservante alimentario.

${\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{K}}}_a{\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{C}}}_6{\mathbf{\text{H}}}_5\mathbf{\text{-COOH.}}\mathbf{\text{(0,40}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Escribiendo la constante con las concentraciones de la tabla:

$K_a=\frac{(c\alpha {)}^2}{c(1-\alpha )}=\frac{c{\alpha }^2}{1-\alpha }$

Como el grado de disociación es solo del 4 %, se puede tomar $1-\alpha \approx 1$:

$K_a\approx c{\alpha }^2=\mathrm{0,04}\cdot (\mathrm{0,04}{)}^2$

$K_a=\mathrm{6,4}\cdot {10}^{-5}$

${\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{K}}}_a{\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{compatible}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{K}}}_b=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-10}{\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{C}}}_6{\mathbf{\text{H}}}_5\mathbf{\text{-COONa.}}\mathbf{\text{(0,30}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El benzoato es la base conjugada del ácido benzoico, y para todo par conjugado debe cumplirse:

$K_a\cdot K_b=K_w={10}^{-14}$

$\mathrm{6,4}\cdot {10}^{-5}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-10}=\mathrm{1,02}\cdot {10}^{-14}$

El producto coincide con $K_w$ dentro del error de redondeo, así que los dos valores son compatibles.

${\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{cualitativamente}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{variar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pH}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{C}}}_6{\mathbf{\text{H}}}_5\mathbf{\text{-COOH}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{adiciona}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cierta}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{benzoato}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sodio.}}\mathbf{\text{(0,30}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El benzoato de sodio es una sal soluble y se disocia por completo:

${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\text{-}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{N}\mathrm{a}(\mathrm{a}\mathrm{c})\to {\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\text{-}\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}(\mathrm{a}\mathrm{c})+\mathrm{N}{\mathrm{a}}^{+}(\mathrm{a}\mathrm{c})$

Se está añadiendo, por tanto, uno de los productos del equilibrio de disociación del ácido. Por el efecto del ion común, ese equilibrio se desplaza hacia la izquierda: parte del benzoato recupera protones y la concentración de ${\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}$ disminuye.

El pH, en consecuencia, $\mathbf{\text{aumenta}}$. La mezcla de un ácido débil con su sal es precisamente lo que constituye una disolución reguladora.