Ejercicio resuelto de Cálculo de las constantes Ka y Kb · Química

2B Las hormigas segregan HCOOH como un mecanismo de defensa frente a otros insectos. Las abejas también lo producen, y lo utilizan para mantener limpia la colmena, ya que actúa como un desinfectante natural. Se trata de un ácido débil ($K_a=\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-4}$).

a) Nombre el HCOOH. (0,20 puntos)
b) Si una hormiga roja emplea 140 ng (nanogramos) de HCOOH en cada mordisco, en un volumen de $1\cdot {10}^{-5}$ mL, ¿cuál es la concentración en $\mathrm{g}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$ del HCOOH producido por la hormiga? (0,30 puntos)
c) La disolución acuosa de HCOOH segregada por las abejas melíferas produce, al disociarse, un pH de 2,2. Escriba la reacción de disociación del ácido y calcule su concentración inicial. (0,90 puntos)
d) La $K_a$ del $\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3\text{-}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$ es diez veces menor que la del HCOOH. Si se mide el pH en sendas disoluciones de los dos ácidos, de la misma concentración inicial, explique en cuál de ellas el pH será mayor. (0,30 puntos)
e) Teniendo en cuenta la información del apartado d), calcule $K_b$ para el anión acetato. (0,30 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Nombre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{HCOOH.}}\mathbf{\text{(0,20}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es el ácido metanoico, llamado tradicionalmente ácido fórmico. Es el más sencillo de los ácidos carboxílicos: su único carbono es ya el del grupo $-\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{concentraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{g}}\cdot {\mathbf{\text{L}}}^{-1}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{HCOOH}}\mathbf{\text{producido}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{hormiga?}}\mathbf{\text{(0,30}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Todo el trabajo está en el cambio de unidades. La masa, de nanogramos a gramos:

$m=140\text{ ng}=140\cdot {10}^{-9}=\mathrm{1,40}\cdot {10}^{-7}\text{ g}$

Y el volumen, de mililitros a litros:

$V=1\cdot {10}^{-5}\text{ mL}=1\cdot {10}^{-8}\text{ L}$

$c=\frac{m}{V}=\frac{\mathrm{1,40}\cdot {10}^{-7}}{1\cdot {10}^{-8}}=14\mathrm{g}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$

Pese a lo minúsculo de las cantidades, la concentración es alta: son 14 gramos por litro.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{reacci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{disociaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{cido}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{concentraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{inicial.}}\mathbf{\text{(0,90}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El ácido metanoico es débil, así que se disocia parcialmente:

$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}(\mathrm{a}\mathrm{c})\rightleftharpoons \mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}(\mathrm{a}\mathrm{c})+{\mathrm{H}}^{+}(\mathrm{a}\mathrm{c})$

El pH da la concentración de protones en el equilibrio, que es la $x$ del planteamiento habitual:

$[{\mathrm{H}}^{+}]={10}^{-\mathrm{p}\mathrm{H}}={10}^{-\mathrm{2,2}}=\mathrm{6,31}\cdot {10}^{-3}\text{ mol/L}=x$

$$	$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$	$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}$	${\mathrm{H}}^{+}$ Inicial (M)	c	0	0 Equilibrio (M)	c − x	x	x

$K_a=\frac{[\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}][{\mathrm{H}}^{+}]}{[\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}]}=\frac{x^2}{c-x}$

Despejando la concentración inicial, sin despreciar $x$ frente a $c$:

$c=\frac{x^2}{K_a}+x=\frac{(\mathrm{6,31}\cdot {10}^{-3}{)}^2}{\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-4}}+\mathrm{6,31}\cdot {10}^{-3}$

$c=\mathrm{0,221}+\mathrm{0,006}=\mathrm{0,227}\text{ mol/L}$

La disolución de las abejas tenía una concentración inicial de unos 0,23 mol·L⁻¹.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{disoluciones}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pH}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mayor.}}\mathbf{\text{(0,30}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La constante de acidez mide la fuerza del ácido: cuanto menor es, menos disociado está y menos protones libera a igualdad de concentración inicial.

Como la $K_a$ del ácido acético es diez veces menor que la del metanoico, el acético es el más débil, libera menos protones y su disolución tendrá una $[{\mathrm{H}}^{+}]$ más baja.

El pH será mayor, por tanto, en la disolución de $\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3-\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$.

${\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{K}}}_b\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ani}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{acetato.}}\mathbf{\text{(0,30}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La constante del ácido acético se obtiene del dato del apartado anterior:

$K_a(\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3-\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H})=\frac{\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-4}}{10}=\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}$

El acetato es su base conjugada, y para todo par conjugado el producto de las constantes es el producto iónico del agua:

$K_b=\frac{K_w}{K_a}=\frac{{10}^{-14}}{\mathrm{1,8}\cdot {10}^{-5}}=\mathrm{5,6}\cdot {10}^{-10}$

Es un valor muy pequeño: el acetato es una base extraordinariamente débil, como corresponde a la conjugada de un ácido que, aun siendo débil, no lo es tanto.