Ejercicio resuelto de Cambio de unidades · Física y Química I

Utilizando factores de conversión, efectúa los siguientes cambios de unidades de volumen. Escribe además en notación científica las cantidades que tengan más de tres cifras (incluyendo los ceros a la izquierda):

a) $100{\text{cm}}^3\to {\text{dm}}^3$
b) $7{\text{mm}}^3\to {\text{dam}}^3$
c) $2\cdot {10}^{-2}{\text{m}}^3\to {\text{mm}}^3$
d) $500{\text{km}}^3\to {\text{hm}}^3$
e) $3{\text{dam}}^3\to {\text{cm}}^3$
f) ${10}^3{\text{km}}^3\to {\text{hm}}^3$
g) $40{\text{m}}^3\to {\text{mm}}^3$

Un factor de conversión es una fracción que vale 1: arriba y abajo lleva la misma cantidad escrita en dos unidades distintas (1 km arriba y 1000 m abajo, por ejemplo). Multiplicar por él no cambia la cantidad, solo la unidad en que está escrita. Se coloca de manera que la unidad que se quiere quitar quede en el lado contrario al que ocupa (abajo si estaba arriba, y arriba si estaba abajo): así se tacha con la que ya había, y lo único que queda sin tachar es la unidad que se busca. Si una unidad va al cuadrado o al cubo, el factor se eleva a esa misma potencia. Cuando el resultado tiene más de tres cifras (contando los ceros a la izquierda), se escribe además en notación científica: un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de diez.

$\mathbf{\text{a)}}$ Un factor para pasar de cm³ a dm³; el factor de una unidad al cubo se eleva al cubo:
$100\cancel{{\text{cm}}^3}\cdot {\left({\displaystyle \frac{1\text{ dm}}{10\cancel{\text{cm}}}}\right)}^3={\displaystyle \frac{100}{1000}}{\text{dm}}^3=\mathrm{0,1}{\text{dm}}^3$


$\mathbf{\text{b)}}$ Un factor para pasar de mm³ a dam³; el factor de una unidad al cubo se eleva al cubo:
$7\cancel{{\text{mm}}^3}\cdot {\left({\displaystyle \frac{1\text{ dam}}{{10}^4\cancel{\text{mm}}}}\right)}^3={\displaystyle \frac{7}{{10}^{12}}}{\text{dam}}^3=7\cdot {10}^{-12}{\text{dam}}^3$


$\mathbf{\text{c)}}$ Un factor para pasar de m³ a mm³; el factor de una unidad al cubo se eleva al cubo:
$2\cdot {10}^{-2}\cancel{{\text{m}}^3}\cdot {\left({\displaystyle \frac{1000\text{ mm}}{1\cancel{\text{m}}}}\right)}^3=2\cdot {10}^{-2}\cdot {10}^9{\text{mm}}^3=20000000{\text{mm}}^3=2\cdot {10}^7{\text{mm}}^3$


$\mathbf{\text{d)}}$ Un factor para pasar de km³ a hm³; el factor de una unidad al cubo se eleva al cubo:
$500\cancel{{\text{km}}^3}\cdot {\left({\displaystyle \frac{10\text{ hm}}{1\cancel{\text{km}}}}\right)}^3=500\cdot 1000{\text{hm}}^3=500000{\text{hm}}^3=5\cdot {10}^5{\text{hm}}^3$


$\mathbf{\text{e)}}$ Un factor para pasar de dam³ a cm³; el factor de una unidad al cubo se eleva al cubo:
$3\cancel{{\text{dam}}^3}\cdot {\left({\displaystyle \frac{1000\text{ cm}}{1\cancel{\text{dam}}}}\right)}^3=3\cdot {10}^9{\text{cm}}^3$


$\mathbf{\text{f)}}$ Un factor para pasar de km³ a hm³; el factor de una unidad al cubo se eleva al cubo:
${10}^3\cancel{{\text{km}}^3}\cdot {\left({\displaystyle \frac{10\text{ hm}}{1\cancel{\text{km}}}}\right)}^3={10}^3\cdot 1000{\text{hm}}^3=1000000{\text{hm}}^3=1\cdot {10}^6{\text{hm}}^3$


$\mathbf{\text{g)}}$ Un factor para pasar de m³ a mm³; el factor de una unidad al cubo se eleva al cubo:
$40\cancel{{\text{m}}^3}\cdot {\left({\displaystyle \frac{1000\text{ mm}}{1\cancel{\text{m}}}}\right)}^3=40\cdot {10}^9{\text{mm}}^3=4\cdot {10}^{10}{\text{mm}}^3$