Ejercicio resuelto de Física y Química I

Un cuerpo colgado de un muelle oscila verticalmente con un movimiento armónico simple de amplitud 6 cm y periodo 4 s. ¿Cuál será su velocidad cuando se encuentra a 2 cm del punto más bajo?

Un movimiento armónico simple (MAS) es una oscilación en torno a la posición de equilibrio, que tomamos como origen ($x=0$). La elongación $x$ en cada instante viene dada por una función seno, de amplitud $A$ (la elongación máxima), frecuencia angular $\omega$ y fase inicial ${\phi }_0$; la velocidad y la aceleración se obtienen derivando la elongación respecto del tiempo:
$\boxed{{\displaystyle x=A\mathrm{sen}(\omega t+{\phi }_0)}}$
$\boxed{{\displaystyle \omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=2\pi f}}$
$\boxed{{\displaystyle v={\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=A\omega \cos (\omega t+{\phi }_0)}}$





$\mathbf{\text{Datos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso}}$
De los datos del enunciado salen la amplitud, la frecuencia angular y la fase inicial:
$A=6\text{ cm}\Rightarrow A=\mathrm{0,06}\text{ m}$
$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad/s}$
La fase inicial no hace falta: no se pregunta por un instante concreto sino por una posición. Se toma ${\phi }_0=0$.
Con esos números, las ecuaciones de este caso quedan (x en m, v en m/s, t en s):
$x=\mathrm{0,06}\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}t\right)$
$v=\mathrm{0,03}\pi \cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}t\right)$


$\mathbf{\text{D}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nde}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cuerpo}}$
El punto más bajo es el extremo $x=-A=-\mathrm{0,06}$. A 2 cm por encima de él:
$x=-\mathrm{0,06}+\mathrm{0,02}=-\mathrm{0,04}\text{ m}$


$\mathbf{\text{Velocidad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
La elongación y la velocidad comparten el argumento del seno y del coseno. De la ecuación de $x$ se saca cuánto vale el seno cuando el cuerpo está en $x=-\mathrm{0,04}$:
$-\mathrm{0,04}=\mathrm{0,06}\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}t\right)\Rightarrow \mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}t\right)={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,04}}{\mathrm{0,06}}}=-\mathrm{0,6667}$
y el coseno sale de la relación ${\mathrm{sen}}^2\theta +{\cos }^2\theta =1$. Tiene dos signos, porque el cuerpo pasa por ese punto subiendo y bajando:
$\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}t\right)=\pm \sqrt{1-(-\mathrm{0,6667}{)}^2}=\pm \sqrt{\mathrm{0,5556}}=\pm \mathrm{0,7454}$
Se lleva a la ecuación de la velocidad:
$v=\mathrm{0,03}\pi \cdot (\pm \mathrm{0,7454})=\pm \mathrm{0,0702}\text{ m/s}$
$\boxed{{\displaystyle v=\pm \mathrm{0,0702}\text{ m/s}}}$
Es decir, unos 7,0 cm/s: hacia arriba si viene del punto más bajo y hacia abajo si va hacia él.