Ejercicio resuelto de Física y Química I

Calcula la aceleración y la velocidad en el instante inicial, $t=0\text{ s}$, para un muelle cuyo movimiento viene descrito por la ecuación: $x(t)=\mathrm{0,3}\cos (2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\text{ cm}$

La ecuación viene dada con un coseno en vez de un seno, pero es igualmente un movimiento armónico simple: un coseno es un seno desfasado un cuarto de vuelta, $\cos \theta =\mathrm{sen}(\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$. La velocidad y la aceleración se obtienen derivando la elongación respecto del tiempo, y con el coseno la derivación es:
$\boxed{{\displaystyle x=A\cos (\omega t+{\phi }_0)}}$
$\boxed{{\displaystyle v={\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=-A\omega \mathrm{sen}(\omega t+{\phi }_0)}}$
$\boxed{{\displaystyle a={\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}=-A{\omega }^2\cos (\omega t+{\phi }_0)}}$





$\mathbf{\text{Datos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso}}$
Se leen directamente de la ecuación (con $x$ en cm y $t$ en s):
$A=\mathrm{0,3}\text{ cm}\omega =2\text{ rad/s}{\phi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{ rad}$
Derivando una vez sale la velocidad (la derivada del coseno es menos el seno, por la derivada del argumento, que es 2) y derivando otra vez, la aceleración:
$v=-\mathrm{0,3}\cdot 2\mathrm{sen}(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=-\mathrm{0,6}\mathrm{sen}(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$
$a=-\mathrm{0,6}\cdot 2\cos (2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=-\mathrm{1,2}\cos (2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$


$\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{inicial}}$
Se sustituye $t=0$ en las tres ecuaciones. Posición:
$x_0=\mathrm{0,3}\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=\mathrm{0,3}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=\mathrm{0,2598}\text{ cm}$
Velocidad:
$v_0=-\mathrm{0,6}\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=-\mathrm{0,6}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=-\mathrm{0,3}\text{ cm/s}$
Aceleración:
$a_0=-\mathrm{1,2}\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=-\mathrm{1,2}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{5}}=-\mathrm{1,04}{\text{cm/s}}^2$
$\boxed{{\displaystyle v_0=-\mathrm{0,3}\text{ cm/s}{a}_0=-\mathrm{1,04}{\text{cm/s}}^2}}$
En $t=0$ el muelle está a 0,26 cm del equilibrio, moviéndose hacia él (velocidad negativa) y con la aceleración apuntando también hacia el equilibrio, como siempre en un MAS: $a_0=-{\omega }^2{x}_0=-4\cdot \mathrm{0,2598}=-\mathrm{1,04}$.