Ejercicio resuelto de Física y Química I

Una partícula recorre de extremo a extremo en un movimiento armónico simple 8 cm y su aceleración máxima es $48{\text{m/s}}^2$. Calcula:

a) La frecuencia y el periodo del movimiento.

b) La velocidad máxima de la partícula.

Un movimiento armónico simple (MAS) es una oscilación en torno a la posición de equilibrio, que tomamos como origen ($x=0$). La elongación $x$ en cada instante viene dada por una función seno, de amplitud $A$ (la elongación máxima), frecuencia angular $\omega$ y fase inicial ${\phi }_0$; la velocidad y la aceleración se obtienen derivando la elongación respecto del tiempo:
$\boxed{{\displaystyle x=A\mathrm{sen}(\omega t+{\phi }_0)}}$
$\boxed{{\displaystyle \omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=2\pi f}}$
$\boxed{{\displaystyle v={\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=A\omega \cos (\omega t+{\phi }_0)}}$
$\boxed{{\displaystyle a={\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}=-A{\omega }^2\mathrm{sen}(\omega t+{\phi }_0)}}$





$\mathbf{\text{Datos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso}}$
De los datos del enunciado salen la amplitud, la frecuencia angular y la fase inicial:
De extremo a extremo hay $2A$, así que la amplitud es la mitad del recorrido:
$A={\displaystyle \frac{8}{2}}=4\text{ cm}\Rightarrow A=\mathrm{0,04}\text{ m}$
La frecuencia angular sale de la aceleración máxima. Como $a=-A{\omega }^2\mathrm{sen}(\omega t+{\phi }_0)$ y el seno vale como mucho 1, el valor máximo de la aceleración es $A{\omega }^2$:
$48=\mathrm{0,04}{\omega }^2\Rightarrow {\omega }^2={\displaystyle \frac{48}{\mathrm{0,04}}}=1200\Rightarrow \omega =\sqrt{1200}=20\sqrt{3}\text{ rad/s}=\mathrm{34,64}\text{ rad/s}$
La fase inicial no interviene en lo que se pregunta; se toma ${\phi }_0=0$.
Con esos números, las ecuaciones de este caso quedan (x en m, t en s):
$x=\mathrm{0,04}\mathrm{sen}\left(20\sqrt{3}t\right)$
$v={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{5}}\cos \left(20\sqrt{3}t\right)$
$a=-48\mathrm{sen}\left(20\sqrt{3}t\right)$


$\mathbf{\text{a)}}$ La frecuencia es la frecuencia angular dividida entre $2\pi$, y el periodo es su inverso:
$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{20\sqrt{3}}{2\pi }}={\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{\pi }}\text{ Hz}=\mathrm{5,51}\text{ Hz}$
$T={\displaystyle \frac{1}{f}}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{\pi }}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi }{30}}\text{ s}=\mathrm{0,181}\text{ s}$
$\boxed{{\displaystyle f=\mathrm{5,51}\text{ Hz}T=\mathrm{0,181}\text{ s}}}$


$\mathbf{\text{b)}}$ La velocidad es $v=A\omega \cos (\omega t)$ y es máxima cuando el coseno vale 1, al pasar por el centro:
$v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=A\omega =\mathrm{0,04}\cdot 20\sqrt{3}={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{5}}\text{ m/s}=\mathrm{1,39}\text{ m/s}$
$\boxed{{\displaystyle v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{1,39}\text{ m/s}}}$