Ejercicio resuelto de Física y Química I

Escribe la ecuación del movimiento del muelle de la figura cuya gráfica posición-tiempo es la que se indica.

Un movimiento armónico simple (MAS) es una oscilación en torno a la posición de equilibrio, que tomamos como origen ($x=0$). La elongación $x$ en cada instante viene dada por una función seno, de amplitud $A$ (la elongación máxima), frecuencia angular $\omega$ y fase inicial ${\phi }_0$; la velocidad y la aceleración se obtienen derivando la elongación respecto del tiempo:
$\boxed{{\displaystyle x=A\mathrm{sen}(\omega t+{\phi }_0)}}$
$\boxed{{\displaystyle \omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=2\pi f}}$





$\mathbf{\text{Lectura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}$
Hay que identificar los tres parámetros de $x=A\mathrm{sen}(\omega t+{\phi }_0)$.
La amplitud es la elongación máxima, lo más lejos que llega la curva del eje:
$A=10\text{ cm}\Rightarrow A=\mathrm{0,1}\text{ m}$
El periodo es el tiempo entre dos máximos seguidos, que están en 0,3 s y 2,3 s:
$T=\mathrm{2,3}-\mathrm{0,3}=2\text{ s}\Rightarrow \omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}=\pi \text{ rad/s}$
La fase inicial se saca de un instante conocido. En el primer máximo, $t=\mathrm{0,3}$, el seno vale 1, es decir, su argumento vale $\pi \mathrm{/}2$:
$\pi \cdot \mathrm{0,3}+{\phi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow {\phi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\mathrm{0,3}\pi =\mathrm{0,2}\pi ={\displaystyle \frac{\pi }{5}}\text{ rad}$


$\mathbf{\text{Ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{movimiento}}$
Con los tres valores dentro:
$\boxed{{\displaystyle x=\mathrm{0,1}\mathrm{sen}(\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{5}})\text{ (en m)}}}$
Comprobación: en $t=0$ la gráfica arranca en unos 6 cm, y la ecuación da
$x_0=\mathrm{0,1}\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)=\mathrm{0,0588}\text{ m}$
es decir, 5,88 cm, que es lo que se lee en la figura.