Ejercicio resuelto de Física y Química I

En el extremo de un muelle colocamos un cuerpo, lo estiramos una longitud de 4 cm y lo dejamos oscilar libremente. Escribe la función que permite conocer su elongación, velocidad y aceleración en función del tiempo si vibra con una frecuencia de 2 Hz. Representa gráficamente dichas funciones tomando valores del tiempo que permitan conocer lo que sucede en dos oscilaciones completas.

Un movimiento armónico simple (MAS) es una oscilación en torno a la posición de equilibrio, que tomamos como origen ($x=0$). La elongación $x$ en cada instante viene dada por una función seno, de amplitud $A$ (la elongación máxima), frecuencia angular $\omega$ y fase inicial ${\phi }_0$; la velocidad y la aceleración se obtienen derivando la elongación respecto del tiempo:
$\boxed{{\displaystyle x=A\mathrm{sen}(\omega t+{\phi }_0)}}$
$\boxed{{\displaystyle \omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=2\pi f}}$
$\boxed{{\displaystyle v={\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=A\omega \cos (\omega t+{\phi }_0)}}$
$\boxed{{\displaystyle a={\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}=-A{\omega }^2\mathrm{sen}(\omega t+{\phi }_0)}}$


$\mathbf{\text{Datos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso}}$
La amplitud es lo que se estira el muelle, $A=4\text{ cm}$ (se trabaja en cm). La frecuencia angular sale de la frecuencia:
$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 2=4\pi \text{ rad/s}$
La fase inicial se fija con la posición en $t=0$: se suelta desde el estiramiento máximo, $x=A$, así que el seno tiene que valer 1:
$\mathrm{sen}{\phi }_0=1\Rightarrow {\phi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad}$


$\mathbf{\text{Elongaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
$\boxed{{\displaystyle x=4\mathrm{sen}(4\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{ cm}}}$


$\mathbf{\text{Velocidad}}$
Se deriva la elongación respecto del tiempo: la derivada del seno es el coseno, multiplicado por la derivada del argumento, que es $\omega =4\pi$:
$v={\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=4\cdot 4\pi \cos (4\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$
$\boxed{{\displaystyle v=16\pi \cos (4\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{ cm/s}}}$


$\mathbf{\text{Aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$
Se deriva la velocidad: la derivada del coseno es menos el seno, otra vez multiplicado por $4\pi$:
$a={\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}=-16\pi \cdot 4\pi \mathrm{sen}(4\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$
$\boxed{{\displaystyle a=-64{\pi }^2\mathrm{sen}(4\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}){\text{cm/s}}^2}}$
El signo menos no es un detalle: la aceleración siempre apunta hacia el equilibrio, en contra de la elongación ($a=-{\omega }^{2}x$).


$\mathbf{\text{Gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficas}}$
El periodo es $T={\displaystyle \frac{1}{f}}=\mathrm{0,5}\text{ s}$, así que dos oscilaciones completas son 1 s. Las tres funciones, entre 0 y 1 s:

La elongación empieza en el máximo (4 cm) y la velocidad en cero; la aceleración empieza en su valor más negativo, $-64{\pi }^2\approx -\mathrm{631,7}{\text{cm/s}}^2$, y es en todo momento la elongación cambiada de signo y multiplicada por ${\omega }^2=16{\pi }^2$.