Ejercicio resuelto de Física y Química I

Un objeto está unido a un muelle horizontal y realiza un MAS sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de $\mathrm{3,3}\text{ Hz}$. Determina:

a) El periodo del movimiento.

b) La velocidad máxima y la aceleración máxima.

Un movimiento armónico simple (MAS) es una oscilación en torno a la posición de equilibrio, que tomamos como origen ($x=0$). La elongación $x$ en cada instante viene dada por una función seno, de amplitud $A$ (la elongación máxima), frecuencia angular $\omega$ y fase inicial ${\phi }_0$; la velocidad y la aceleración se obtienen derivando la elongación respecto del tiempo:
$\boxed{{\displaystyle x=A\mathrm{sen}(\omega t+{\phi }_0)}}$
$\boxed{{\displaystyle \omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=2\pi f}}$
$\boxed{{\displaystyle v={\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=A\omega \cos (\omega t+{\phi }_0)}}$
$\boxed{{\displaystyle a={\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}=-A{\omega }^2\mathrm{sen}(\omega t+{\phi }_0)}}$





$\mathbf{\text{Datos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso}}$
De los datos del enunciado salen la amplitud, la frecuencia angular y la fase inicial:
$A=5\text{ cm}\Rightarrow A=\mathrm{0,05}\text{ m}$
$\omega =2\pi f=2\pi \cdot \mathrm{3,3}=\mathrm{6,6}\pi \text{ rad/s}=\mathrm{20,7345}\text{ rad/s}$
La fase inicial no interviene en lo que se pregunta; se toma ${\phi }_0=0$.
Con esos números, las ecuaciones de este caso quedan (x en m, t en s):
$x=\mathrm{0,05}\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{33\pi }{5}}t\right)$
$v=\mathrm{0,33}\pi \cos \left({\displaystyle \frac{33\pi }{5}}t\right)$
$a=-\mathrm{2,178}{\pi }^2\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{33\pi }{5}}t\right)$


$\mathbf{\text{a)}}$ El periodo es el inverso de la frecuencia:
$T={\displaystyle \frac{1}{f}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3,3}}}=\mathrm{0,303}\text{ s}$
$\boxed{{\displaystyle T=\mathrm{0,303}\text{ s}}}$


$\mathbf{\text{b)}}$ La velocidad es $v=A\omega \cos (\omega t)$ y es máxima cuando el coseno vale 1, al pasar por el centro:
$v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=A\omega =\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{20,7345}=\mathrm{1,04}\text{ m/s}$
La aceleración es $a=-A{\omega }^2\mathrm{sen}(\omega t)$ y su valor máximo, en los extremos, es:
$a_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=A{\omega }^2=\mathrm{0,05}\cdot {\mathrm{20,7345}}^2=\mathrm{21,50}{\text{m/s}}^2$
$\boxed{{\displaystyle v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{1,04}\text{ m/s}{a}_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{21,50}{\text{m/s}}^2}}$