Ejercicio resuelto de Inmediatas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales de tipo arco tangente:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x(1+{\ln }^{2}x)}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3x+27}{1+{(3x+27)}^4}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{3+x^2}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x^2}{2x^2+3}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^2+4}}dx}$

Cuando el integrando es una fracción con la derivada de $f(x)$ arriba y $1+f(x{)}^2$ abajo, la integral es un arco tangente:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)}{1+f(x{)}^2}}dx=\mathrm{arctg}f(x)+C}}}$
El denominador casi nunca viene ya en la forma $1+f^2$: hay que completar cuadrados o sacar factor común hasta dejar el 1 delante.

$\mathbf{\text{a)}}$ Identificamos $f(x)=\ln x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x(1+{\ln }^{2}x)}}dx=\mathrm{arctg}(\ln x)+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Identificamos $f(x)={(3x+27)}^2$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=18x+162$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3x+27}{1+{(3x+27)}^4}}dx={\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{18x+162}{1+{\left({(3x+27)}^2\right)}^2}}dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot \mathrm{arctg}\left({(3x+27)}^2\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{arctg}\left({(3x+27)}^2\right)}{6}}+C$


$\mathbf{\text{c)}}$ Para que aparezca el 1 delante se saca factor común 3 en el denominador: $3+x^2=3(1+{\displaystyle \frac{x^2}{3}})$.
Identificamos $f(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{3+x^2}}dx={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}}{1+{\left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\right)}^2}}dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\cdot \mathrm{arctg}\left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}x}{3}}}{3}}+C$


$\mathbf{\text{d)}}$ El numerador tiene el mismo grado que el denominador, así que lo primero es hacer la división: no puede salir un arco tangente puro mientras arriba haya un $x^2$.
${\displaystyle \frac{2x^2}{2x^2+3}}={\displaystyle \frac{2x^2+3-3}{2x^2+3}}=1-{\displaystyle \frac{3}{2x^2+3}}$
La integral se parte en dos:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x^2}{2x^2+3}}dx={\displaystyle \int 1dx-3{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{2x^2+3}}dx}}}$
En la segunda sacamos factor común 3 en el denominador para que quede el 1 delante:
$2x^2+3=3(1+{\displaystyle \frac{2x^2}{3}})=3(1+{\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}x\right)}^2)$
Con $f(x)=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}x$ y $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$ se aplica la regla del arco tangente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x^2}{2x^2+3}}dx=x-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}x}{3}}+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Sacamos factor común 4 en el denominador: $x^2+4=4(1+{\displaystyle \frac{x^2}{4}})$.
Identificamos $f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^2+4}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{1+{\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^2}}dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{arctg}\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x}{2}}}{2}}+C$