Ejercicio resuelto de Inmediatas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales de funciones compuestas:

a) ${\displaystyle \int {(x+1)}^{2}dx}$
b) ${\displaystyle \int {(7x+5)}^{2}dx}$
c) ${\displaystyle \int 2x(x^2+1)dx}$
d) ${\displaystyle \int 3x^2(x^3+1)dx}$
e) ${\displaystyle \int t(t^2+3)dt}$
f) ${\displaystyle \int x^2(x^3+2)dx}$

Es la regla de la potencia, pero con una función dentro: si en el integrando aparece una potencia de $f(x)$ multiplicada por su propia derivada, se integra igual que $x^n$:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int f(x{)}^n\cdot f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)dx={\displaystyle \frac{f(x{)}^{n+1}}{n+1}}+C(n\mathrm{\ne }-1)}}}$
El trabajo consiste en reconocer $f(x)$, derivarla y ajustar la constante que falte, porque una constante sí puede entrar y salir de la integral.

$\mathbf{\text{a)}}$ Identificamos $f(x)=x+1$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=1$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {(x+1)}^{2}dx={\displaystyle \frac{{(x+1)}^{2+1}}{2+1}}={\displaystyle \frac{{(x+1)}^3}{3}}+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Identificamos $f(x)=7x+5$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=7$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {(7x+5)}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{7}}{\displaystyle \int {(7x+5)}^2\cdot \left(7\right)dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{{(7x+5)}^{2+1}}{2+1}}={\displaystyle \frac{{(7x+5)}^3}{21}}+C$


$\mathbf{\text{c)}}$ Identificamos $f(x)=x^2+1$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=2x$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int 2x(x^2+1)dx={\displaystyle \frac{{(x^2+1)}^{1+1}}{1+1}}={\displaystyle \frac{{(x^2+1)}^2}{2}}+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Identificamos $f(x)=x^3+1$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int 3x^2(x^3+1)dx={\displaystyle \frac{{(x^3+1)}^{1+1}}{1+1}}={\displaystyle \frac{{(x^3+1)}^2}{2}}+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Identificamos $f(t)=t^2+3$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(t)=2t$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(t)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int t(t^2+3)dt={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int (t^2+3)\cdot \left(2t\right)dt}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{{(t^2+3)}^{1+1}}{1+1}}={\displaystyle \frac{{(t^2+3)}^2}{4}}+C$


$\mathbf{\text{f)}}$ Identificamos $f(x)=x^3+2$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int x^2(x^3+2)dx={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \int (x^3+2)\cdot \left(3x^2\right)dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{{(x^3+2)}^{1+1}}{1+1}}={\displaystyle \frac{{(x^3+2)}^2}{6}}+C$