Ejercicio resuelto de Inmediatas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales de funciones compuestas:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^3+3x^2+3x+1}}dx}$
b) ${\displaystyle \int x\sqrt{1+x^2}dx}$
c) ${\displaystyle \int x\sqrt{1-x^2}dx}$
d) ${\displaystyle \int (x+1){(x^2+2x+5)}^{6}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2}{{(x^3+1)}^4}}dx}$

Es la regla de la potencia, pero con una función dentro: si en el integrando aparece una potencia de $f(x)$ multiplicada por su propia derivada, se integra igual que $x^n$:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int f(x{)}^n\cdot f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)dx={\displaystyle \frac{f(x{)}^{n+1}}{n+1}}+C(n\mathrm{\ne }-1)}}}$
El trabajo consiste en reconocer $f(x)$, derivarla y ajustar la constante que falte, porque una constante sí puede entrar y salir de la integral.

$\mathbf{\text{a)}}$ Identificamos $f(x)=x+1$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=1$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^3+3x^2+3x+1}}dx={\displaystyle \frac{{(x+1)}^{-3+1}}{-3+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{2{(x+1)}^2}}+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Identificamos $f(x)=1+x^2$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=2x$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int x\sqrt{1+x^2}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int {(1+x^2)}^{1\mathrm{/}2}\cdot \left(2x\right)dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{{(1+x^2)}^{1\mathrm{/}2+1}}{1\mathrm{/}2+1}}={\displaystyle \frac{\sqrt{{(x^2+1)}^3}}{3}}+C$


$\mathbf{\text{c)}}$ Identificamos $f(x)=1-x^2$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int x\sqrt{1-x^2}dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int {(1-x^2)}^{1\mathrm{/}2}\cdot (-2x)dx}}$
Y aplicamos la regla:
$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{{(1-x^2)}^{1\mathrm{/}2+1}}{1\mathrm{/}2+1}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{{(-x^2+1)}^3}}{3}}+C$


$\mathbf{\text{d)}}$ Identificamos $f(x)=x^2+2x+5$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+2$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int (x+1){(x^2+2x+5)}^{6}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int {(x^2+2x+5)}^6\cdot (2x+2)dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{{(x^2+2x+5)}^{6+1}}{6+1}}={\displaystyle \frac{{(x^2+2x+5)}^7}{14}}+C$


$\mathbf{\text{e)}}$ Identificamos $f(x)=x^3+1$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2}{{(x^3+1)}^4}}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \int {(x^3+1)}^{-4}\cdot \left(3x^2\right)dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{{(x^3+1)}^{-4+1}}{-4+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{9{(x^3+1)}^3}}+C$