Ejercicio resuelto de Inmediatas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales potenciales:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x}}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt[3]{x}}{x}}dx}$
d) ${\displaystyle \int \sqrt{x}\sqrt[3]{x}\sqrt[4]{x}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x+2}{\sqrt{x}}}dx}$

Toda potencia se integra con la regla de la potencia, subiendo el exponente una unidad y dividiendo por el nuevo exponente:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int x^{n}dx={\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}+C(n\mathrm{\ne }-1)}}}$
Las constantes salen fuera de la integral, así que el trabajo previo es siempre el mismo: escribir el integrando como $k{x}^n$.

$\mathbf{\text{a)}}$ Escribimos el integrando como una potencia de $x$:
${\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x}}={\displaystyle \frac{x^{1\mathrm{/}2}}{x^1}}=x^{1\mathrm{/}2-1}=x^{-1\mathrm{/}2}$
Aplicamos la regla de la potencia, subiendo el exponente y dividiendo por el nuevo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x}}dx={\displaystyle \int x^{-1\mathrm{/}2}dx={\displaystyle \frac{x^{-1\mathrm{/}2+1}}{-1\mathrm{/}2+1}}={\displaystyle \frac{x^{1\mathrm{/}2}}{1\mathrm{/}2}}=2\sqrt{x}+C}}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Escribimos el integrando como una potencia de $x$:
${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{x^1}{x^{1\mathrm{/}2}}}=x^{1-1\mathrm{/}2}=x^{1\mathrm{/}2}$
Aplicamos la regla de la potencia, subiendo el exponente y dividiendo por el nuevo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x}}}dx={\displaystyle \int x^{1\mathrm{/}2}dx={\displaystyle \frac{x^{1\mathrm{/}2+1}}{1\mathrm{/}2+1}}={\displaystyle \frac{x^{3\mathrm{/}2}}{3\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{x^3}}{3}}+C}}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Escribimos el integrando como una potencia de $x$:
${\displaystyle \frac{\sqrt[3]{x}}{x}}={\displaystyle \frac{x^{1\mathrm{/}3}}{x^1}}=x^{1\mathrm{/}3-1}=x^{-2\mathrm{/}3}$
Aplicamos la regla de la potencia, subiendo el exponente y dividiendo por el nuevo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt[3]{x}}{x}}dx={\displaystyle \int x^{-2\mathrm{/}3}dx={\displaystyle \frac{x^{-2\mathrm{/}3+1}}{-2\mathrm{/}3+1}}={\displaystyle \frac{x^{1\mathrm{/}3}}{1\mathrm{/}3}}=3\sqrt[3]{x}+C}}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Escribimos el integrando como una potencia de $x$:
$\sqrt{x}\sqrt[3]{x}\sqrt[4]{x}=x^{1\mathrm{/}2}{x}^{1\mathrm{/}3}{x}^{1\mathrm{/}4}=x^{1\mathrm{/}2+1\mathrm{/}3+1\mathrm{/}4}=x^{13\mathrm{/}12}$
Aplicamos la regla de la potencia, subiendo el exponente y dividiendo por el nuevo:
${\displaystyle \int \sqrt{x}\sqrt[3]{x}\sqrt[4]{x}dx={\displaystyle \int x^{13\mathrm{/}12}dx={\displaystyle \frac{x^{13\mathrm{/}12+1}}{13\mathrm{/}12+1}}={\displaystyle \frac{x^{25\mathrm{/}12}}{25\mathrm{/}12}}={\displaystyle \frac{12\sqrt[12]{x^{25}}}{25}}+C}}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Repartimos el numerador entre el denominador y escribimos cada trozo como potencia:
${\displaystyle \frac{x+2}{\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x}}}+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}}=x^{1\mathrm{/}2}+2x^{-1\mathrm{/}2}$
La integral de una suma es la suma de las integrales:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x+2}{\sqrt{x}}}dx={\displaystyle \int x^{1\mathrm{/}2}dx+2{\displaystyle \int x^{-1\mathrm{/}2}dx}}}$
Aplicamos la regla de la potencia a cada una y simplificamos:
$={\displaystyle \frac{x^{3\mathrm{/}2}}{3\mathrm{/}2}}+2\cdot {\displaystyle \frac{x^{1\mathrm{/}2}}{1\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{x^3}}{3}}+4\sqrt{x}+C$