Ejercicio resuelto de Inmediatas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales de funciones compuestas:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x{\ln }^{2}x}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\mathrm{arcsen}}^{2}x}{\sqrt{1-x^2}}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}{\mathrm{arcsen}}^{2}x}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x}{2}}}{4+x^2}}dx}$

Es la regla de la potencia, pero con una función dentro: si en el integrando aparece una potencia de $f(x)$ multiplicada por su propia derivada, se integra igual que $x^n$:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int f(x{)}^n\cdot f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)dx={\displaystyle \frac{f(x{)}^{n+1}}{n+1}}+C(n\mathrm{\ne }-1)}}}$
El trabajo consiste en reconocer $f(x)$, derivarla y ajustar la constante que falte, porque una constante sí puede entrar y salir de la integral.

$\mathbf{\text{a)}}$ Identificamos $f(x)=\ln x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x{\ln }^{2}x}}dx={\displaystyle \frac{{(\ln x)}^{-2+1}}{-2+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{\ln x}}+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Identificamos $f(x)=\ln x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}dx={\displaystyle \frac{{(\ln x)}^{1+1}}{1+1}}={\displaystyle \frac{{\ln }^{2}x}{2}}+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Identificamos $f(x)=\mathrm{arcsen}x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{-x^2+1}}}$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\mathrm{arcsen}}^{2}x}{\sqrt{1-x^2}}}dx={\displaystyle \frac{{(\mathrm{arcsen}x)}^{2+1}}{2+1}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{arcsen}}^{3}x}{3}}+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Identificamos $f(x)=\mathrm{arcsen}x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{-x^2+1}}}$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}{\mathrm{arcsen}}^{2}x}}dx={\displaystyle \frac{{(\mathrm{arcsen}x)}^{-2+1}}{-2+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{arcsen}x}}+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Identificamos $f(x)=\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x}{2}}$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2({\displaystyle \frac{x^2}{4}}+1)}}$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x}{2}}}{4+x^2}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int (\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x}{2}})\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{2({\displaystyle \frac{x^2}{4}}+1)}}\right)dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{{(\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x}{2}})}^{1+1}}{1+1}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{arctg}}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}}{4}}+C$