Ejercicio resuelto de Inmediatas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales potenciales:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{t^3}{t^2}}dt}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^{2\mathrm{/}3}}{x^{1\mathrm{/}3}}}dx}$
c) ${\displaystyle \int \sqrt{x}\sqrt[3]{x}dx}$
d) ${\displaystyle \int \sqrt[3]{x^2}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\left(t^2\right)}^{3}dt}$

Toda potencia se integra con la regla de la potencia, subiendo el exponente una unidad y dividiendo por el nuevo exponente:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int x^{n}dx={\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}+C(n\mathrm{\ne }-1)}}}$
Las constantes salen fuera de la integral, así que el trabajo previo es siempre el mismo: escribir el integrando como $k{x}^n$.

$\mathbf{\text{a)}}$ Escribimos el integrando como una potencia de $t$:
${\displaystyle \frac{t^3}{t^2}}=t^{3-2}=t$
Aplicamos la regla de la potencia, subiendo el exponente y dividiendo por el nuevo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{t^3}{t^2}}dt={\displaystyle \int tdt={\displaystyle \frac{t^{1+1}}{1+1}}={\displaystyle \frac{t^2}{2}}+C}}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Escribimos el integrando como una potencia de $x$:
${\displaystyle \frac{x^{2\mathrm{/}3}}{x^{1\mathrm{/}3}}}=x^{2\mathrm{/}3-1\mathrm{/}3}=x^{1\mathrm{/}3}$
Aplicamos la regla de la potencia, subiendo el exponente y dividiendo por el nuevo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^{2\mathrm{/}3}}{x^{1\mathrm{/}3}}}dx={\displaystyle \int x^{1\mathrm{/}3}dx={\displaystyle \frac{x^{1\mathrm{/}3+1}}{1\mathrm{/}3+1}}={\displaystyle \frac{x^{4\mathrm{/}3}}{4\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4}}+C}}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Escribimos el integrando como una potencia de $x$:
$\sqrt{x}\sqrt[3]{x}=x^{1\mathrm{/}2}{x}^{1\mathrm{/}3}=x^{1\mathrm{/}2+1\mathrm{/}3}=x^{5\mathrm{/}6}$
Aplicamos la regla de la potencia, subiendo el exponente y dividiendo por el nuevo:
${\displaystyle \int \sqrt{x}\sqrt[3]{x}dx={\displaystyle \int x^{5\mathrm{/}6}dx={\displaystyle \frac{x^{5\mathrm{/}6+1}}{5\mathrm{/}6+1}}={\displaystyle \frac{x^{11\mathrm{/}6}}{11\mathrm{/}6}}={\displaystyle \frac{6\sqrt[6]{x^{11}}}{11}}+C}}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Escribimos el integrando como una potencia de $x$:
$\sqrt[3]{x^2}=x^{2\mathrm{/}3}$
Aplicamos la regla de la potencia, subiendo el exponente y dividiendo por el nuevo:
${\displaystyle \int \sqrt[3]{x^2}dx={\displaystyle \int x^{2\mathrm{/}3}dx={\displaystyle \frac{x^{2\mathrm{/}3+1}}{2\mathrm{/}3+1}}={\displaystyle \frac{x^{5\mathrm{/}3}}{5\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{3\sqrt[3]{x^5}}{5}}+C}}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Escribimos el integrando como una potencia de $t$:
${\left(t^2\right)}^3=t^{2\cdot 3}=t^6$
Aplicamos la regla de la potencia, subiendo el exponente y dividiendo por el nuevo:
${\displaystyle \int {\left(t^2\right)}^{3}dt={\displaystyle \int t^{6}dt={\displaystyle \frac{t^{6+1}}{6+1}}={\displaystyle \frac{t^7}{7}}+C}}$