Ejercicio resuelto de Inmediatas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales de tipo logarítmico:

a) ${\displaystyle \int 4x^{-1}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x-1}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{3x+5}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{ax+b}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2}{x^3+2}}dx}$

Cuando el integrando es una fracción cuyo numerador es la derivada del denominador, la integral es el logaritmo neperiano del denominador:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}dx=\ln \mid f(x)\mid +C}}}$
El valor absoluto es obligatorio: el logaritmo solo existe para valores positivos, y $f(x)$ puede ser negativa. Como antes, la constante que falte se ajusta multiplicando y dividiendo.

$\mathbf{\text{a)}}$ Identificamos $f(x)=x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=1$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int 4x^{-1}dx=4{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x}}dx}}$
Y aplicamos la regla:
$=4\cdot \ln \mid x\mid =4\ln \mid x\mid +C$


$\mathbf{\text{b)}}$ Identificamos $f(x)=x-1$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=1$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x-1}}dx=\ln \mid x-1\mid =\ln \left(\mid x-1\mid \right)+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Identificamos $f(x)=3x+5$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=3$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{3x+5}}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3}{3x+5}}dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \ln \mid 3x+5\mid ={\displaystyle \frac{\ln \left(\mid 3x+5\mid \right)}{3}}+C$


$\mathbf{\text{d)}}$ Identificamos $f(x)=ax+b$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=a$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{ax+b}}dx={\displaystyle \frac{1}{a}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{a}{ax+b}}dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{a}}\cdot \ln \mid ax+b\mid ={\displaystyle \frac{\ln \left(\mid ax+b\mid \right)}{a}}+C$


$\mathbf{\text{e)}}$ Identificamos $f(x)=x^3+2$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2}{x^3+2}}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3x^2}{x^3+2}}dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \ln \mid x^3+2\mid ={\displaystyle \frac{\ln \left(\mid x^3+2\mid \right)}{3}}+C$