Ejercicio resuelto de Inmediatas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales de tipo arco tangente:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{a^x}{1+a^x}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{4x^2+4x+2}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2^x}{1+4^x}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3^x}{1+9^x}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}}dx}$

Cuando el integrando es una fracción con la derivada de $f(x)$ arriba y $1+f(x{)}^2$ abajo, la integral es un arco tangente:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}dx=\ln \mid f(x)\mid +C}}}$
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)}{1+f(x{)}^2}}dx=\mathrm{arctg}f(x)+C}}}$
El denominador casi nunca viene ya en la forma $1+f^2$: hay que completar cuadrados o sacar factor común hasta dejar el 1 delante.

$\mathbf{\text{a)}}$ Identificamos $f(x)=1+a^x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=a^x\ln a$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{a^x}{1+a^x}}dx={\displaystyle \frac{1}{\log \left(a\right)}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{a^x\ln a}{1+a^x}}dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{\log \left(a\right)}}\cdot \ln \mid 1+a^x\mid ={\displaystyle \frac{\ln \left(\mid a^x+1\mid \right)}{\ln a}}+C$
Ojo: esta no es de arco tangente, porque el denominador lleva $a^x$ y no ${\left(a^x\right)}^2$. Es de tipo logarítmico.


$\mathbf{\text{b)}}$ Preparamos el denominador completando cuadrados: $4x^2+4x+2={(2x+1)}^2+1$.
Identificamos $f(x)=2x+1$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=2$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{4x^2+4x+2}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{1+{(2x+1)}^2}}dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{arctg}(2x+1)={\displaystyle \frac{\mathrm{arctg}(2x+1)}{2}}+C$


$\mathbf{\text{c)}}$ El denominador ya tiene la forma buena, porque $4^x={\left(2^x\right)}^2$.
Identificamos $f(x)=2^x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=2^x\ln 2$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2^x}{1+4^x}}dx={\displaystyle \frac{1}{\log \left(2\right)}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2^x\ln 2}{1+{\left(2^x\right)}^2}}dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{\log \left(2\right)}}\cdot \mathrm{arctg}\left(2^x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{arctg}{2}^x}{\ln 2}}+C$


$\mathbf{\text{d)}}$ El denominador ya tiene la forma buena, porque $9^x={\left(3^x\right)}^2$.
Identificamos $f(x)=3^x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=3^x\ln 3$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3^x}{1+9^x}}dx={\displaystyle \frac{1}{\log \left(3\right)}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3^x\ln 3}{1+{\left(3^x\right)}^2}}dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{1}{\log \left(3\right)}}\cdot \mathrm{arctg}\left(3^x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{arctg}{3}^x}{\ln 3}}+C$


$\mathbf{\text{e)}}$ El denominador ya tiene la forma buena, porque $x={\left(\sqrt{x}\right)}^2$.
Identificamos $f(x)=\sqrt{x}$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}}dx=2{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}}{1+{\left(\sqrt{x}\right)}^2}}dx}}$
Y aplicamos la regla:
$=2\cdot \mathrm{arctg}\left(\sqrt{x}\right)=2\mathrm{arctg}\sqrt{x}+C$