Ejercicio resuelto de Inmediatas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales trigonométricas sencillas:

a) ${\displaystyle \int 7x^2\mathrm{sen}(4x^3+5)dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\cos \ln x}{x}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\cos (\mathrm{arctg}x)}{1+x^2}}dx}$

Las reglas trigonométricas inmediatas son las derivadas del seno y del coseno leídas al revés (ojo al signo menos del coseno):
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int \cos f(x)\cdot f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)dx=\mathrm{sen}f(x)+C}}}$
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int \mathrm{sen}f(x)\cdot f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)dx=-\cos f(x)+C}}}$
Se identifica el ángulo $f(x)$, se deriva y se ajusta la constante que falte.

$\mathbf{\text{a)}}$ Identificamos $f(x)=4x^3+5$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int 7x^2\mathrm{sen}(4x^3+5)dx={\displaystyle \frac{7}{12}}{\displaystyle \int \mathrm{sen}(4x^3+5)\cdot \left(12x^2\right)dx}}$
Y aplicamos la regla:
$={\displaystyle \frac{7}{12}}\cdot -\cos (4x^3+5)=-{\displaystyle \frac{7\cos (4x^3+5)}{12}}+C$


$\mathbf{\text{b)}}$ Identificamos $f(x)=\sqrt{x}$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}dx=\mathrm{sen}\left(\sqrt{x}\right)=\mathrm{sen}\sqrt{x}+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Identificamos $f(x)=\sqrt{x}$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$.
Ajustamos la constante para que aparezca $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)$ exacta, multiplicando y dividiendo por lo que falta:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}dx=2{\displaystyle \int \mathrm{sen}\left(\sqrt{x}\right)\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\right)dx}}$
Y aplicamos la regla:
$=2\cdot -\cos \left(\sqrt{x}\right)=-2\cos \sqrt{x}+C$


$\mathbf{\text{d)}}$ Identificamos $f(x)=\ln x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\cos \ln x}{x}}dx=\mathrm{sen}(\ln x)+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Identificamos $f(x)=\mathrm{arctg}x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\cos (\mathrm{arctg}x)}{1+x^2}}dx=\mathrm{sen}(\mathrm{arctg}x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}+C}$