Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Dado un ángulo $\alpha$ del cuarto cuadrante tal que $\sec \alpha =2$, hallar $\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$.

Se utiliza la fórmula del coseno del ángulo mitad:

$\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos \alpha }{2}}}$

El signo se decide después según el cuadrante en el que quede ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$.

Primero obtenemos $\cos \alpha$ a partir de la secante. Por definición, la secante es la inversa del coseno:

$\sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}=2⟹\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Sustituimos en la fórmula del ángulo mitad:

$\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2}}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{2}}}{2}}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Ahora determinamos el signo. El ángulo $\alpha$ está en el cuarto cuadrante, es decir:

${270}^{\circ }<\alpha <{360}^{\circ }$

Dividiendo toda la desigualdad entre $2$:

${135}^{\circ }<{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}<{180}^{\circ }$

Por tanto ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ pertenece al segundo cuadrante, donde el coseno es negativo. En consecuencia tomamos el signo negativo:

$\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$