Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Sabiendo que $\mathrm{tg}2a=\sqrt{3}$, hallar $\mathrm{sen}a$ y $\cos a$, sabiendo que $a<{90}^{\circ }$. ¿De qué ángulo $a$ se trata? Resuélvelo aplicando las fórmulas del ángulo mitad; para ello, plantea el cambio de variable $a={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$, es decir, considera $2a$ como el ángulo entero y $a$ como su mitad.

Se usan las fórmulas del ángulo mitad. Si llamamos $\alpha =2a$, entonces $a={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ es el ángulo mitad, y las fórmulas son:

$\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{2}}}\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos \alpha }{2}}}$

es decir, con $\alpha =2a$:

$\mathrm{sen}a=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos 2a}{2}}}\cos a=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos 2a}{2}}}$

Primero hallamos el ángulo $2a$ y su coseno a partir del dato. De $\mathrm{tg}2a=\sqrt{3}$ se obtiene:

$2a={60}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }$

Como $a<{90}^{\circ }$, entonces $2a<{180}^{\circ }$, por lo que la única solución válida es $2a={60}^{\circ }$ (la otra, $2a={240}^{\circ }$, daría $a={120}^{\circ }>{90}^{\circ }$). Por tanto:

$\cos 2a=\cos {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Determinación de los signos: como $2a={60}^{\circ }$, el ángulo mitad es $a={30}^{\circ }$, que está en el primer cuadrante, donde el seno y el coseno son positivos. Tomamos, pues, el signo positivo en ambas raíces.

Cálculo del seno:

$\mathrm{sen}a=+\sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos 2a}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Cálculo del coseno:

$\cos a=+\sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos 2a}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{2}}}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Identificación del ángulo: un ángulo del primer cuadrante con $\mathrm{sen}a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ y $\cos a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ es:

$a={30}^{\circ }$

Comprobación: si $a={30}^{\circ }$, entonces $2a={60}^{\circ }$ y $\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\sqrt{3}$, que coincide con el dato del enunciado.