Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Dado un ángulo $a$ del cuarto cuadrante con $\mathrm{tg}a=-\sqrt{3}$, hallar las razones trigonométricas de ${\displaystyle \frac{a}{2}}$.

Usaremos las fórmulas del ángulo mitad:

$\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{a}{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos a}{2}}},\cos {\displaystyle \frac{a}{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos a}{2}}},\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{a}{2}}}{\cos {\displaystyle \frac{a}{2}}}}$

Primero necesitamos $\cos a$. Como $a$ está en el cuarto cuadrante, su coseno es positivo y su seno negativo. A partir de la relación entre la tangente y el coseno:

$1+{\mathrm{tg}}^{2}a={\sec }^{2}a={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}a}}$

$1+(-\sqrt{3}{)}^2=1+3=4={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}a}}\Rightarrow {\cos }^{2}a={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow \cos a=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$

Como $a$ está en el cuarto cuadrante, el coseno es positivo, luego $\cos a={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Determinamos en qué cuadrante cae ${\displaystyle \frac{a}{2}}$. En el cuarto cuadrante el ángulo cumple ${270}^{\circ }<a<{360}^{\circ }$; concretamente, con $\mathrm{tg}a=-\sqrt{3}$ y $\cos a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ se trata de $a={300}^{\circ }$. Por tanto:

${\displaystyle \frac{a}{2}}={150}^{\circ }$

que pertenece al segundo cuadrante, donde el seno es positivo y el coseno y la tangente son negativos. Con esto fijamos los signos de las raíces.

Calculamos el seno de la mitad (positivo por estar en el segundo cuadrante):

$\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{a}{2}}=+\sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos a}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Calculamos el coseno de la mitad (negativo por estar en el segundo cuadrante):

$\cos {\displaystyle \frac{a}{2}}=-\sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos a}{2}}}=-\sqrt{{\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2}}}=-\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{2}}}{2}}}=-\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Calculamos la tangente de la mitad:

$\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{a}{2}}}{\cos {\displaystyle \frac{a}{2}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$