Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Dado $\alpha$ perteneciente al tercer cuadrante tal que $\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, halla, utilizando la fórmula correspondiente (resultados simplificados y racionalizados; no vale utilizar decimales), y por este orden:

a) $\mathrm{sen}2\alpha$

b) $\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$

c) $\mathrm{sen}(\alpha -{30}^{\circ })$

d) $\mathrm{tg}(\alpha +{60}^{\circ })$

e) Razonar mediante la circunferencia goniométrica (no vale con calculadora) de qué $\alpha$ se trata.

Partimos de la relación fundamental de la trigonometría ${\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ para hallar el seno de $\alpha$. Como $\alpha$ está en el tercer cuadrante, el seno es negativo:

$\mathrm{sen}\alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\sqrt{1-{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2}=-\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{4}}}=-\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

a) Se aplica la fórmula del seno del ángulo doble: $\mathrm{sen}2\alpha =2\mathrm{sen}\alpha \cos \alpha$.

$\mathrm{sen}2\alpha =2\cdot (-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=2\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

b) Se aplica la fórmula del coseno del ángulo mitad: $\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos \alpha }{2}}}$.

Hay que elegir el signo según el cuadrante de ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$. Como $\alpha$ está en el tercer cuadrante, ${180}^{\circ }<\alpha <{270}^{\circ }$, y dividiendo entre 2 se obtiene ${90}^{\circ }<{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}<{135}^{\circ }$, es decir, ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ está en el segundo cuadrante, donde el coseno es negativo. Por tanto:

$\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=-\sqrt{{\displaystyle \frac{1+(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}{2}}}=-\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2}}}=-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

c) Se aplica la fórmula del seno de una diferencia: $\mathrm{sen}(\alpha -{30}^{\circ })=\mathrm{sen}\alpha \cos {30}^{\circ }-\cos \alpha \mathrm{sen}{30}^{\circ }$.

Con $\cos {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ y $\mathrm{sen}{30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$:

$\mathrm{sen}(\alpha -{30}^{\circ })=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-(-{\displaystyle \frac{1}{2}})\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}=-{\displaystyle \frac{2}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

d) Se aplica la fórmula de la tangente de una suma: $\mathrm{tg}(\alpha +{60}^{\circ })={\displaystyle \frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}{60}^{\circ }}{1-\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{tg}{60}^{\circ }}}$.

Primero calculamos la tangente de $\alpha$:

$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=\sqrt{3}$

Como $\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\sqrt{3}$:

$\mathrm{tg}(\alpha +{60}^{\circ })={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{1-3}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{-2}}=-\sqrt{3}$

e) Razonamos con la circunferencia goniométrica. Sabemos que $\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ y que $\mathrm{sen}\alpha =-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$; ambas razones son negativas, lo que confirma que $\alpha$ está en el tercer cuadrante. El ángulo de referencia (en el primer cuadrante) cuyo coseno vale ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ y cuyo seno vale ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ es ${60}^{\circ }$. En el tercer cuadrante, el ángulo se obtiene sumando ese ángulo de referencia a ${180}^{\circ }$:

$\alpha ={180}^{\circ }+{60}^{\circ }={240}^{\circ }$