Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Sea un ángulo $a$ situado en el segundo cuadrante tal que $\mathrm{tg}a=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$. Hallar las razones trigonométricas del ángulo ${\displaystyle \frac{a}{2}}$.

Se usan las fórmulas del ángulo mitad:
$\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{a}{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos a}{2}}}$
$\cos {\displaystyle \frac{a}{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos a}{2}}}$
$\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{a}{2}}}{\cos {\displaystyle \frac{a}{2}}}}$

Para aplicarlas hace falta conocer $\cos a$. Se obtiene a partir de $\mathrm{tg}a=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ mediante la relación $1+{\mathrm{tg}}^{2}a={\sec }^{2}a={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}a}}$:
${\sec }^{2}a=1+{(-{\displaystyle \frac{3}{4}})}^2=1+{\displaystyle \frac{9}{16}}={\displaystyle \frac{25}{16}}$
${\cos }^{2}a={\displaystyle \frac{16}{25}}\Rightarrow \cos a=\pm {\displaystyle \frac{4}{5}}$

Como $a$ está en el segundo cuadrante, el coseno es negativo:
$\cos a=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$

Se determina el cuadrante de ${\displaystyle \frac{a}{2}}$. Si ${90}^{\circ }<a<{180}^{\circ }$, entonces ${45}^{\circ }<{\displaystyle \frac{a}{2}}<{90}^{\circ }$, es decir, ${\displaystyle \frac{a}{2}}$ está en el primer cuadrante, donde el seno, el coseno y la tangente son positivos. Por tanto se toma el signo positivo en las dos raíces.

Ahora se aplican las fórmulas del ángulo mitad:

Seno de ${\displaystyle \frac{a}{2}}$:
$\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{a}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos a}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-(-{\displaystyle \frac{4}{5}})}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{9}{5}}}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{10}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{10}}$

Coseno de ${\displaystyle \frac{a}{2}}$:
$\cos {\displaystyle \frac{a}{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos a}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+(-{\displaystyle \frac{4}{5}})}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{5}}}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{10}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}}$

Tangente de ${\displaystyle \frac{a}{2}}$:
$\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{a}{2}}}{\cos {\displaystyle \frac{a}{2}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{10}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}}}}=3$