Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45° y si se apoya sobre la otra forma un ángulo de 30°.

a) Hallar la anchura de la calle.
b) ¿Qué altura se alcanza sobre cada fachada?

La escalera, de longitud constante $10\text{ m}$, está fijada en un punto del suelo y al apoyarse en cada fachada forma con la calzada un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la propia escalera. En cada triángulo rectángulo se cumplen las definiciones de seno y coseno respecto del ángulo que la escalera forma con el suelo:

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\text{altura sobre la fachada}}{\text{longitud de la escalera}}}$

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\text{distancia al pie de la fachada}}{\text{longitud de la escalera}}}$

La anchura de la calle es la suma de las dos distancias horizontales (desde el punto fijo hasta cada fachada), y la altura sobre cada fachada es el cateto vertical correspondiente.

a) Anchura de la calle.

Para el apoyo sobre la primera fachada (ángulo de ${45}^{\circ }$), la distancia horizontal hasta esa fachada es:

$d_1=10\cdot \cos {45}^{\circ }=10\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=5\sqrt{2}\approx \mathrm{7,07}\text{ m}$

Para el apoyo sobre la segunda fachada (ángulo de ${30}^{\circ }$), la distancia horizontal hasta esa fachada es:

$d_2=10\cdot \cos {30}^{\circ }=10\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=5\sqrt{3}\approx \mathrm{8,66}\text{ m}$

La anchura de la calle es la suma de las dos distancias horizontales medidas desde el punto fijo del suelo hacia cada fachada:

$a=d_1+d_2=5\sqrt{2}+5\sqrt{3}\approx \mathrm{7,07}+\mathrm{8,66}=\mathrm{15,73}\text{ m}$

b) Altura que se alcanza sobre cada fachada.

Sobre la primera fachada (ángulo de ${45}^{\circ }$), la altura alcanzada es:

$h_1=10\cdot \mathrm{sen}{45}^{\circ }=10\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=5\sqrt{2}\approx \mathrm{7,07}\text{ m}$

Sobre la segunda fachada (ángulo de ${30}^{\circ }$), la altura alcanzada es:

$h_2=10\cdot \mathrm{sen}{30}^{\circ }=10\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=5\text{ m}$