Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Resolver los siguientes triángulos, rectángulos en $A$, aplicando, siempre que sea posible, relaciones trigonométricas (¡no el teorema de Pitágoras!); hallar también su área:

a) $a=320$ m, $B={47}^{\circ }$

b) $a=\mathrm{42,5}$ m, $b=\mathrm{35,8}$ m

c) $b=\mathrm{32,8}$ cm, $B={22}^{\circ }$

d) $b=8$ mm, $c=6$ mm

Como el triángulo es rectángulo en $A$, el ángulo recto está en el vértice $A$, es decir $A={90}^{\circ }$. Por tanto, la hipotenusa es el lado $a$ (opuesto a $A$) y los catetos son $b$ y $c$.

Como los ángulos suman ${180}^{\circ }$ y $A={90}^{\circ }$, los ángulos agudos son complementarios:
$B+C={90}^{\circ }$

Las razones trigonométricas que usaremos, tomando como referencia el ángulo $B$ (cateto opuesto $b$, cateto contiguo $c$, hipotenusa $a$), son:
$\mathrm{sen}B={\displaystyle \frac{b}{a}}\cos B={\displaystyle \frac{c}{a}}\mathrm{tg}B={\displaystyle \frac{b}{c}}$

El área de un triángulo rectángulo es el semiproducto de sus catetos:
$S_{ABC}={\displaystyle \frac{b\cdot c}{2}}$

a) Datos: $a=320$ m (hipotenusa) y $B={47}^{\circ }$.

Ángulo $C$ por ser complementario de $B$:
$C={90}^{\circ }-{47}^{\circ }={43}^{\circ }$

Cateto $b$ (opuesto a $B$), despejando de $\mathrm{sen}B={\displaystyle \frac{b}{a}}$:
$b=a\cdot \mathrm{sen}B=320\cdot \mathrm{sen}{47}^{\circ }\approx \mathrm{234,03}\text{ m}$

Cateto $c$ (contiguo a $B$), despejando de $\cos B={\displaystyle \frac{c}{a}}$:
$c=a\cdot \cos B=320\cdot \cos {47}^{\circ }\approx \mathrm{218,24}\text{ m}$

Área:
$S_{ABC}={\displaystyle \frac{b\cdot c}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{234,03}\cdot \mathrm{218,24}}{2}}\approx \mathrm{25537,64}{\text{ m}}^2$

b) Datos: $a=\mathrm{42,5}$ m (hipotenusa) y $b=\mathrm{35,8}$ m (cateto).

Ángulo $B$ a partir de $\mathrm{sen}B={\displaystyle \frac{b}{a}}$:
$\mathrm{sen}B={\displaystyle \frac{\mathrm{35,8}}{\mathrm{42,5}}}\approx \mathrm{0,84235}\Rightarrow B\approx {57}^{\circ }{23}^{\mathrm{\prime }}{22}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$

Ángulo $C$ por complementario:
$C={90}^{\circ }-B\approx {32}^{\circ }{36}^{\mathrm{\prime }}{38}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$

Cateto $c$, despejando de $\cos B={\displaystyle \frac{c}{a}}$:
$c=a\cdot \cos B=\mathrm{42,5}\cdot \cos {57}^{\circ }{23}^{\mathrm{\prime }}{22}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\approx \mathrm{22,90}\text{ m}$

Área:
$S_{ABC}={\displaystyle \frac{b\cdot c}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{35,8}\cdot \mathrm{22,90}}{2}}\approx \mathrm{409,99}{\text{ m}}^2$

c) Datos: $b=\mathrm{32,8}$ cm (cateto) y $B={22}^{\circ }$.

Ángulo $C$ por complementario:
$C={90}^{\circ }-{22}^{\circ }={68}^{\circ }$

Hipotenusa $a$, despejando de $\mathrm{sen}B={\displaystyle \frac{b}{a}}$:
$a={\displaystyle \frac{b}{\mathrm{sen}B}}={\displaystyle \frac{\mathrm{32,8}}{\mathrm{sen}{22}^{\circ }}}\approx \mathrm{87,56}\text{ cm}$

Cateto $c$, despejando de $\mathrm{tg}B={\displaystyle \frac{b}{c}}$:
$c={\displaystyle \frac{b}{\mathrm{tg}B}}={\displaystyle \frac{\mathrm{32,8}}{\mathrm{tg}{22}^{\circ }}}\approx \mathrm{81,18}\text{ cm}$

Área:
$S_{ABC}={\displaystyle \frac{b\cdot c}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{32,8}\cdot \mathrm{81,18}}{2}}\approx \mathrm{1331,40}{\text{ cm}}^2$

d) Datos: $b=8$ mm y $c=6$ mm (los dos catetos).

Ángulo $B$ a partir de $\mathrm{tg}B={\displaystyle \frac{b}{c}}$:
$\mathrm{tg}B={\displaystyle \frac{8}{6}}\approx \mathrm{1,3333}\Rightarrow B\approx {53}^{\circ }{7}^{\mathrm{\prime }}{48}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$

Ángulo $C$ por complementario:
$C={90}^{\circ }-B\approx {36}^{\circ }{52}^{\mathrm{\prime }}{12}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$

Hipotenusa $a$, despejando de $\mathrm{sen}B={\displaystyle \frac{b}{a}}$:
$a={\displaystyle \frac{b}{\mathrm{sen}B}}={\displaystyle \frac{8}{\mathrm{sen}{53}^{\circ }{7}^{\mathrm{\prime }}{48}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}}=10\text{ mm}$

Área:
$S_{ABC}={\displaystyle \frac{b\cdot c}{2}}={\displaystyle \frac{8\cdot 6}{2}}=24{\text{ mm}}^2$