Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Sea un ángulo $a$ situado en el 2.º cuadrante tal que $\mathrm{tg}a=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$. Hallar las razones trigonométricas del ángulo ${\displaystyle \frac{a}{2}}$.

Usaremos las fórmulas del ángulo mitad:

$\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{a}{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos a}{2}}}\cos {\displaystyle \frac{a}{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos a}{2}}}\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}}$

Primero necesitamos $\mathrm{sen}a$ y $\cos a$. Como el ángulo $a$ está en el 2.º cuadrante, su seno es positivo y su coseno es negativo.

Partimos de $\mathrm{tg}a=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ y usamos la relación $1+{\mathrm{tg}}^{2}a={\sec }^{2}a$:

${\sec }^{2}a=1+{(-{\displaystyle \frac{3}{4}})}^2=1+{\displaystyle \frac{9}{16}}={\displaystyle \frac{25}{16}}$

$\cos a=-\sqrt{{\displaystyle \frac{16}{25}}}=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$ (negativo por estar en el 2.º cuadrante)

$\mathrm{sen}a=\mathrm{tg}a\cdot \cos a=(-{\displaystyle \frac{3}{4}})(-{\displaystyle \frac{4}{5}})={\displaystyle \frac{3}{5}}$ (positivo, como corresponde al 2.º cuadrante)

Ahora situamos el ángulo mitad. Como ${90}^{\circ }<a<{180}^{\circ }$, al dividir entre 2 obtenemos ${45}^{\circ }<{\displaystyle \frac{a}{2}}<{90}^{\circ }$, es decir, ${\displaystyle \frac{a}{2}}$ está en el 1.er cuadrante, por lo que todas sus razones son positivas y tomamos el signo $+$.

Aplicamos las fórmulas del ángulo mitad con $\cos a=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$:

$\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{a}{2}}=+\sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos a}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-(-\frac{4}{5})}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\frac{9}{5}}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{10}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{10}}$

$\cos {\displaystyle \frac{a}{2}}=+\sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos a}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+(-\frac{4}{5})}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\frac{1}{5}}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{10}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}}$

$\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}}={\displaystyle \frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}}=3$