Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Hallar, sin calculadora, el valor de la siguiente expresión:

${\displaystyle \frac{8\mathrm{sen}{105}^{\circ }}{\mathrm{sen}{45}^{\circ }}}$

Usamos la fórmula del seno de una suma de ángulos, que dice que $\mathrm{sen}(a+b)=\mathrm{sen}a\cos b+\cos a\mathrm{sen}b$, junto con los valores exactos de las razones de los ángulos notables.

Expresamos ${105}^{\circ }$ como suma de dos ángulos conocidos: ${105}^{\circ }={60}^{\circ }+{45}^{\circ }$.

Calculamos $\mathrm{sen}{105}^{\circ }$:
$\mathrm{sen}{105}^{\circ }=\mathrm{sen}({60}^{\circ }+{45}^{\circ })=\mathrm{sen}{60}^{\circ }\cos {45}^{\circ }+\cos {60}^{\circ }\mathrm{sen}{45}^{\circ }$
$\mathrm{sen}{105}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

Recordamos también que $\mathrm{sen}{45}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Sustituimos ambos valores en la expresión:
${\displaystyle \frac{8\mathrm{sen}{105}^{\circ }}{\mathrm{sen}{45}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{8\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}}={\displaystyle \frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Dividir entre ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ equivale a multiplicar por ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}$:
$2(\sqrt{6}+\sqrt{2})\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}}=4({\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}})=4(\sqrt{3}+1)$

Por tanto:
${\displaystyle \frac{8\mathrm{sen}{105}^{\circ }}{\mathrm{sen}{45}^{\circ }}}=4+4\sqrt{3}$