Matemáticas I · Razones trigonométricas

Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Simplificar las siguientes expresiones:

a) tg⁡(α+180∘)+tg⁡(α−180∘)+tg⁡(α−270∘)+tg⁡(360∘−α)
b) sen⁡(α+5π)+sen⁡(α−π)+sen⁡(α+2π)+sen⁡(α+π)

Solución

Se usan las razones trigonometricas de angulos relacionados (reduccion al primer cuadrante) y la periodicidad de cada razon: la tangente tiene periodo 180∘ y el seno tiene periodo 360∘=2π. Recuerda ademas estas igualdades basicas:
tg⁡(180∘+α)=tg⁡α, tg⁡(−α)=−tg⁡α, tg⁡(90∘+α)=−cotg⁡α, sen⁡(180∘+α)=−sen⁡α.

a) Se simplifica cada sumando por separado.

Primer sumando (la tangente tiene periodo 180∘):
tg⁡(α+180∘)=tg⁡α

Segundo sumando:
tg⁡(α−180∘)=tg⁡α

Tercer sumando. Como la tangente tiene periodo 180∘, sumamos 360∘ al angulo para situarlo en una posicion equivalente:
tg⁡(α−270∘)=tg⁡(α−270∘+360∘)=tg⁡(α+90∘)=−cotg⁡α

Cuarto sumando:
tg⁡(360∘−α)=tg⁡(−α)=−tg⁡α

Sumando todo:
tg⁡α+tg⁡α−cotg⁡α−tg⁡α=tg⁡α−cotg⁡α

b) El seno tiene periodo 2π, asi que se simplifica cada sumando por separado.

Primer sumando (restamos 4π, que son dos vueltas completas):
sen⁡(α+5π)=sen⁡(α+π)=−sen⁡α

Segundo sumando:
sen⁡(α−π)=−sen⁡α

Tercer sumando (sumar una vuelta completa no cambia el seno):
sen⁡(α+2π)=sen⁡α

Cuarto sumando:
sen⁡(α+π)=−sen⁡α

Sumando todo:
−sen⁡α−sen⁡α+sen⁡α−sen⁡α=−2sen⁡α

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