Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Siendo $\mathrm{tg}x={\displaystyle \frac{2}{3}}$ calcular:

a) $\mathrm{tg}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$

b) $\mathrm{tg}(\pi -x)$

c) $\mathrm{tg}(\pi +x)$

Se usan las razones trigonométricas de ángulos relacionados (ángulos complementarios, suplementarios y desfasados $\pi$ radianes), recordando que la cotangente es la inversa de la tangente:
$\mathrm{tg}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\mathrm{cotg}x={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}x}}$
$\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x$
$\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$

Partimos del dato $\mathrm{tg}x={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

a) El ángulo ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x$ es el complementario de $x$, y la tangente del complementario es la cotangente del ángulo:
$\mathrm{tg}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\mathrm{cotg}x={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}x}}={\displaystyle \frac{1}{\frac{2}{3}}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

b) El ángulo $\pi -x$ es el suplementario de $x$, y la tangente del suplementario es la opuesta de la tangente del ángulo:
$\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

c) El ángulo $\pi +x$ tiene la misma tangente que $x$, porque la tangente es periódica de periodo $\pi$:
$\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x={\displaystyle \frac{2}{3}}$