Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Sabiendo que $\mathrm{tg}a={\displaystyle \frac{3}{2}}$, calcular:

a) $\cos (\pi +a)$

b) $\cos (2\pi -a)$

c) $\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a)$

d) $\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+a)$

Primero calculamos el seno y el coseno del ángulo $a$ a partir de su tangente. Partimos de la identidad fundamental ${\mathrm{sen}}^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ y de la definición $\mathrm{tg}a={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}a}{\cos a}}$, que combinadas dan $1+{\mathrm{tg}}^{2}a={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}a}}$.

Sustituyendo el valor de la tangente:

${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}a}}=1+{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2=1+{\displaystyle \frac{9}{4}}={\displaystyle \frac{13}{4}}$

${\cos }^{2}a={\displaystyle \frac{4}{13}}\Rightarrow \cos a={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{13}}{13}}$

Tomamos $a$ en el primer cuadrante (seno y coseno positivos), por lo que:

$\mathrm{sen}a=\mathrm{tg}a\cdot \cos a={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2\sqrt{13}}{13}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{13}}{13}}$

Ahora aplicamos las fórmulas de reducción de los ángulos relacionados.

a) Para $\cos (\pi +a)$ usamos que el coseno de un ángulo que difiere de otro en ${180}^{\circ }$ cambia de signo, es decir, $\cos (\pi +a)=-\cos a$:

$\cos (\pi +a)=-\cos a=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{13}}{13}}$

b) Para $\cos (2\pi -a)$ usamos que el coseno es una función par y periódica de periodo $2\pi$, de modo que $\cos (2\pi -a)=\cos (-a)=\cos a$:

$\cos (2\pi -a)=\cos a={\displaystyle \frac{2\sqrt{13}}{13}}$

c) Para $\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a)$ usamos la relación entre ángulos complementarios, según la cual el seno de la diferencia con ${90}^{\circ }$ es igual al coseno del ángulo, es decir, $\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a)=\cos a$:

$\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a)=\cos a={\displaystyle \frac{2\sqrt{13}}{13}}$

d) Para $\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+a)$ usamos que el seno de un ángulo que supera en ${90}^{\circ }$ a otro coincide también con el coseno, es decir, $\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+a)=\cos a$:

$\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+a)=\cos a={\displaystyle \frac{2\sqrt{13}}{13}}$