Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Dado un ángulo $a$ del tercer cuadrante tal que $\mathrm{tg}a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$, halla las razones trigonométricas del ángulo $2a$.

Las fórmulas del ángulo doble son:

$\mathrm{sen}2a=2\mathrm{sen}a\cdot \cos a$

$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\mathrm{sen}}^{2}a$

$\mathrm{tg}2a={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2a}{\cos 2a}}$

Primero necesitamos las razones trigonométricas de $a$. Partimos del dato $\mathrm{tg}a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$.

Usamos la relación entre la tangente y la secante:

$1+{\mathrm{tg}}^{2}a={\sec }^{2}a={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}a}}$

$1+{\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^2=1+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

Por tanto:

${\cos }^{2}a={\displaystyle \frac{3}{4}}⟹\cos a=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Como $a$ está en el tercer cuadrante, el coseno es negativo, así que:

$\cos a=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Calculamos el seno con la relación fundamental ${\mathrm{sen}}^{2}a+{\cos }^{2}a=1$:

${\mathrm{sen}}^{2}a=1-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}⟹\mathrm{sen}a=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$

En el tercer cuadrante el seno también es negativo, luego:

$\mathrm{sen}a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Comprobamos: $\mathrm{tg}a={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}a}{\cos a}}={\displaystyle \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$, que coincide con el dato.

Ahora aplicamos las fórmulas del ángulo doble.

Seno del ángulo doble:

$\mathrm{sen}2a=2\mathrm{sen}a\cdot \cos a=2\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})\cdot (-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Coseno del ángulo doble:

$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\mathrm{sen}}^{2}a={\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Tangente del ángulo doble:

$\mathrm{tg}2a={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2a}{\cos 2a}}={\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}}=\sqrt{3}$