Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Dada $\mathrm{tg}a=\sqrt{3}$, siendo $a$ un ángulo del tercer cuadrante, hallar las razones trigonométricas del ángulo $2a$.

Usaremos las fórmulas del ángulo doble:
$\mathrm{sen}2a=2\mathrm{sen}a\cdot \cos a$
$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\mathrm{sen}}^{2}a$
$\mathrm{tg}2a={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2a}{\cos 2a}}$

Primero necesitamos $\mathrm{sen}a$ y $\cos a$. Como $a$ está en el tercer cuadrante, tanto el seno como el coseno son negativos.

Partimos de la relación entre la tangente y el coseno:
$1+{\mathrm{tg}}^{2}a={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}a}}$
$1+(\sqrt{3}{)}^2={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}a}}\Rightarrow 1+3={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}a}}\Rightarrow {\cos }^{2}a={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Como en el tercer cuadrante el coseno es negativo:
$\cos a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Para el seno usamos la relación $\mathrm{sen}a=\mathrm{tg}a\cdot \cos a$ (el seno también es negativo en el tercer cuadrante):
$\mathrm{sen}a=\sqrt{3}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Ahora aplicamos las fórmulas del ángulo doble.

Seno de $2a$:
$\mathrm{sen}2a=2\mathrm{sen}a\cdot \cos a=2\cdot (-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=2\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Coseno de $2a$:
$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\mathrm{sen}}^{2}a={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Tangente de $2a$:
$\mathrm{tg}2a={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2a}{\cos 2a}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=-\sqrt{3}$

Comprobación: como $\mathrm{tg}a=\sqrt{3}$ y $a$ está en el tercer cuadrante, $a={240}^{\circ }$, luego $2a={480}^{\circ }$, que equivale a ${120}^{\circ }$. En efecto, $\mathrm{sen}{120}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, $\cos {120}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ y $\mathrm{tg}{120}^{\circ }=-\sqrt{3}$.