Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Sabiendo que $\mathrm{tg}2\alpha =\sqrt{3}$, hallar $\mathrm{sen}\alpha$ y $\cos \alpha$, sabiendo que $\alpha <{90}^{\circ }$. ¿De qué ángulo $\alpha$ se trata?

Partimos de la definición de la tangente como razón cuya imagen conocemos: buscamos el ángulo cuyo valor de la tangente es $\sqrt{3}$. Sabemos que $\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\sqrt{3}$.

Como el dato es $\mathrm{tg}2\alpha =\sqrt{3}$, el ángulo doble debe cumplir:

$\mathrm{tg}2\alpha =\sqrt{3}=\mathrm{tg}{60}^{\circ }$

Tenemos en cuenta el intervalo permitido. Como $\alpha <{90}^{\circ }$, entonces $2\alpha <{180}^{\circ }$. En el intervalo $(0^{\circ },{180}^{\circ })$ la tangente solo toma el valor positivo $\sqrt{3}$ en el primer cuadrante, así que tomamos:

$2\alpha ={60}^{\circ }$

Despejamos el ángulo $\alpha$:

$\alpha ={\displaystyle \frac{{60}^{\circ }}{2}}={30}^{\circ }$

Ahora calculamos las razones trigonométricas de $\alpha ={30}^{\circ }$ a partir de los valores notables:

$\mathrm{sen}\alpha =\mathrm{sen}{30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\cos \alpha =\cos {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Comprobación con la fórmula del ángulo doble de la tangente. La fórmula es:

$\mathrm{tg}2\alpha ={\displaystyle \frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }}$

Como $\mathrm{tg}{30}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$, sustituimos:

$\mathrm{tg}2\alpha ={\displaystyle \frac{2\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}}{1-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}}{1-{\displaystyle \frac{3}{9}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}}{{\displaystyle \frac{6}{9}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}=\sqrt{3}$

El resultado coincide con el dato, por lo que el ángulo buscado es $\alpha ={30}^{\circ }$.