Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Expresar únicamente en función de las razones trigonométricas de $\alpha$:

a) $\cos ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+\alpha )$

b) $\cos (\alpha -{\displaystyle \frac{9\pi }{2}})$

c) $\mathrm{tg}(\alpha +5\pi )$

d) $\mathrm{sen}(\alpha -{\displaystyle \frac{5\pi }{2}})$

e) $\mathrm{tg}({360}^{\circ }-\alpha )$

Se usan las fórmulas de adición y sustracción de ángulos, la periodicidad de las razones trigonométricas (el seno y el coseno tienen periodo $2\pi$, y la tangente tiene periodo $\pi$) y los valores de las razones de los ángulos del cuadrante. Se recuerdan las fórmulas:
$\cos (x\pm y)=\cos x\cos y\mp \mathrm{sen}x\mathrm{sen}y$
$\mathrm{sen}(x\pm y)=\mathrm{sen}x\cos y\pm \cos x\mathrm{sen}y$
También se usan los valores: $\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}=0$, $\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}=-1$, $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=0$, $\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=1$.

a) Se aplica la fórmula del coseno de una suma:
$\cos ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+\alpha )=\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\cos \alpha -\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\mathrm{sen}\alpha$
$=0\cdot \cos \alpha -(-1)\cdot \mathrm{sen}\alpha =\mathrm{sen}\alpha$

b) Primero se reduce el ángulo usando la periodicidad del coseno. Como ${\displaystyle \frac{9\pi }{2}}=4\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ y el coseno tiene periodo $2\pi$, se pueden restar dos vueltas completas, es decir, $4\pi$:
$\cos (\alpha -{\displaystyle \frac{9\pi }{2}})=\cos (\alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$
Ahora se aplica la fórmula del coseno de una resta:
$\cos (\alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\cos \alpha \cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\mathrm{sen}\alpha \mathrm{sen}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=\cos \alpha \cdot 0+\mathrm{sen}\alpha \cdot 1=\mathrm{sen}\alpha$

c) La tangente tiene periodo $\pi$, es decir, $\mathrm{tg}(x+k\pi )=\mathrm{tg}x$ para cualquier número entero $k$. Como $5\pi$ es un múltiplo entero de $\pi$ (con $k=5$):
$\mathrm{tg}(\alpha +5\pi )=\mathrm{tg}\alpha$

d) Primero se reduce el ángulo usando la periodicidad del seno. Como ${\displaystyle \frac{5\pi }{2}}=2\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ y el seno tiene periodo $2\pi$, se puede restar una vuelta completa, es decir, $2\pi$:
$\mathrm{sen}(\alpha -{\displaystyle \frac{5\pi }{2}})=\mathrm{sen}(\alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$
Ahora se aplica la fórmula del seno de una resta:
$\mathrm{sen}(\alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\mathrm{sen}\alpha \cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\cos \alpha \mathrm{sen}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=\mathrm{sen}\alpha \cdot 0-\cos \alpha \cdot 1=-\cos \alpha$

e) Se usa que la diferencia ${360}^{\circ }-\alpha$ equivale al ángulo opuesto $-\alpha$ por la periodicidad de ${360}^{\circ }$, y que la tangente es una función impar, es decir, $\mathrm{tg}(-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$:
$\mathrm{tg}({360}^{\circ }-\alpha )=\mathrm{tg}(-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$