Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Sabiendo que $\sec \alpha =2$ y $0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, calcular las restantes razones trigonometricas mediante identidades trigonometricas (sin usar decimales). Comprobar el resultado hallando $\alpha$ con la calculadora.

Usamos las identidades trigonometricas fundamentales. Recordamos que la secante es la inversa del coseno y que se cumple la identidad fundamental:

$\sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}{\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Como $0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, el angulo esta en el primer cuadrante, donde todas las razones trigonometricas son positivas.

Calculamos el coseno a partir de la secante:

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sec \alpha }}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Calculamos el seno con la identidad fundamental:

${\mathrm{sen}}^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

$\mathrm{sen}\alpha =+\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Tomamos el signo positivo porque el angulo esta en el primer cuadrante.

Calculamos la tangente como cociente entre seno y coseno:

$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=\sqrt{3}$

Calculamos las razones inversas, la cosecante y la cotangente:

$\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}\alpha }}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$

$\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Comprobacion con la calculadora. Buscamos el angulo cuyo coseno es ${\displaystyle \frac{1}{2}}$:

$\alpha =\arccos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={60}^{\circ }$

Este valor pertenece al primer cuadrante, como exigia el enunciado, y al sustituir se obtiene $\mathrm{sen}{60}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ y $\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\sqrt{3}$, que coinciden con los resultados obtenidos.