Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Sabiendo que $\cos \alpha =\mathrm{0,2}$ y que ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}<\alpha <2\pi$, calcular las restantes razones trigonométricas y comprobar el resultado.

Se usa la relación fundamental de la trigonometría ${\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, junto con la definición $\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}$ y las razones inversas.

El dato es $\cos \alpha =\mathrm{0,2}={\displaystyle \frac{1}{5}}$.

El ángulo cumple ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}<\alpha <2\pi$, es decir, está en el cuarto cuadrante. En el cuarto cuadrante el coseno es positivo (coherente con el dato) y el seno es negativo.

Cálculo del seno a partir de la relación fundamental:

${\mathrm{sen}}^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^2=1-{\displaystyle \frac{1}{25}}={\displaystyle \frac{24}{25}}$

$\mathrm{sen}\alpha =\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{24}{25}}}=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{24}}{5}}=\pm {\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{5}}$

Como el ángulo está en el cuarto cuadrante, el seno es negativo:

$\mathrm{sen}\alpha =-{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{5}}$

Cálculo de la tangente:

$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{5}}}{{\displaystyle \frac{1}{5}}}}=-2\sqrt{6}$

Razones inversas:

$\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}\alpha }}=-{\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}}=-{\displaystyle \frac{5\sqrt{6}}{12}}$

$\sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,2}}}=5$

$\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}=-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{6}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{12}}$

Comprobación: ${\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{24}{25}}+{\displaystyle \frac{1}{25}}={\displaystyle \frac{25}{25}}=1$. Con la calculadora, $\cos \alpha =\mathrm{0,2}$ da un ángulo de referencia $\approx {78}^{\circ }{27}^{\mathrm{\prime }}{47}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, y como el ángulo está en el cuarto cuadrante el valor buscado es $\alpha \approx {360}^{\circ }-{78}^{\circ }{27}^{\mathrm{\prime }}{47}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={281}^{\circ }{32}^{\mathrm{\prime }}{13}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, cuyo seno y tangente coinciden con los obtenidos (negativos).