Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Sabiendo que $\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{4}{3}}$ y $\pi <\alpha <{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$, calcular las restantes razones trigonométricas, y comprobar.

Se utiliza la relación entre la tangente y el coseno que se obtiene de la identidad fundamental:

$1+{\mathrm{tg}}^2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }}$

El ángulo cumple $\pi <\alpha <{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$, es decir, $\alpha$ está en el tercer cuadrante. En el tercer cuadrante el seno y el coseno son negativos (y la tangente es positiva, como indica el dato).

Cálculo del coseno a partir de la relación anterior:

${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }}=1+{\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^2=1+{\displaystyle \frac{16}{9}}={\displaystyle \frac{25}{9}}$

${\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{9}{25}}\Rightarrow \cos \alpha =\pm {\displaystyle \frac{3}{5}}$

Como $\alpha$ está en el tercer cuadrante, el coseno es negativo:

$\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{3}{5}}$

Cálculo del seno mediante la definición de la tangente $\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}$, de donde $\mathrm{sen}\alpha =\mathrm{tg}\alpha \cdot \cos \alpha$:

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot (-{\displaystyle \frac{3}{5}})=-{\displaystyle \frac{12}{15}}=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$

El seno resulta negativo, como corresponde al tercer cuadrante.

Comprobación con la identidad fundamental:

${\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={(-{\displaystyle \frac{4}{5}})}^2+{(-{\displaystyle \frac{3}{5}})}^2={\displaystyle \frac{16}{25}}+{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{25}{25}}=1$

Se cumple la identidad, por lo que los resultados son correctos.