Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Determinar los valores de $\mathrm{sen}\alpha$ y $\mathrm{tg}\alpha$ sabiendo que $\mathrm{tg}\alpha >0$ y $\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{5}{12}}$.

Usamos la relacion fundamental de la trigonometria:

${\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

y la definicion de la tangente:

$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}$

Primero determinamos el cuadrante. Nos dicen que $\cos \alpha <0$ y que $\mathrm{tg}\alpha >0$. Como la tangente es el cociente entre el seno y el coseno, para que sea positiva el seno y el coseno deben tener el mismo signo; al ser el coseno negativo, el seno tambien debe ser negativo. Por tanto el angulo $\alpha$ esta en el tercer cuadrante, donde $\mathrm{sen}\alpha <0$ y $\cos \alpha <0$.

Despejamos el seno de la relacion fundamental:

${\mathrm{sen}}^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{(-{\displaystyle \frac{5}{12}})}^2=1-{\displaystyle \frac{25}{144}}={\displaystyle \frac{144-25}{144}}={\displaystyle \frac{119}{144}}$

Tomamos la raiz cuadrada y elegimos el signo negativo por estar en el tercer cuadrante:

$\mathrm{sen}\alpha =-\sqrt{{\displaystyle \frac{119}{144}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{119}}{12}}$

Finalmente calculamos la tangente:

$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{\sqrt{119}}{12}}}{-{\displaystyle \frac{5}{12}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{119}}{5}}$

Comprobacion del signo: $\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{119}}{5}}>0$, como exige el enunciado.