Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas sencillas:

a) $\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

b) $\cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

c) $\mathrm{tg}x=1$

d) $\mathrm{sen}x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

e) $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

f) $\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}$

Para resolver una ecuación trigonométrica sencilla se busca el ángulo del primer cuadrante cuya razón coincide con el valor dado (ángulo de referencia) y, después, se sitúan todos los ángulos de una vuelta completa que tienen esa misma razón, teniendo en cuenta el signo. Como las funciones trigonométricas son periódicas, a cada solución de la primera vuelta se le suma un número entero de vueltas. El seno es positivo en el primer y segundo cuadrante y negativo en el tercero y cuarto; el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante y negativo en el segundo y tercero; la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante y negativa en el segundo y cuarto. En todo lo que sigue, $k$ representa un número entero cualquiera.

a) Se resuelve $\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{1}{2}}$. El ángulo de referencia es ${30}^{\circ }$, porque $\mathrm{sen}{30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Como el valor es positivo, las soluciones están en el primer y segundo cuadrante:
$x_1={30}^{\circ }{x}_2={180}^{\circ }-{30}^{\circ }={150}^{\circ }$
Solución general:
$x={30}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot kx={150}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot k$

b) Se resuelve $\cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. El ángulo de referencia es ${30}^{\circ }$, porque $\cos {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. Como el coseno es negativo, las soluciones están en el segundo y tercer cuadrante:
$x_1={180}^{\circ }-{30}^{\circ }={150}^{\circ }{x}_2={180}^{\circ }+{30}^{\circ }={210}^{\circ }$
Solución general:
$x={150}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot kx={210}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot k$

c) Se resuelve $\mathrm{tg}x=1$. El ángulo de referencia es ${45}^{\circ }$, porque $\mathrm{tg}{45}^{\circ }=1$. Como la tangente es positiva, las soluciones están en el primer y tercer cuadrante:
$x_1={45}^{\circ }{x}_2={180}^{\circ }+{45}^{\circ }={225}^{\circ }$
Como la tangente tiene periodo ${180}^{\circ }$, ambas familias se resumen en una sola:
$x={45}^{\circ }+{180}^{\circ }\cdot k$

d) Se resuelve $\mathrm{sen}x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. El ángulo de referencia es ${45}^{\circ }$, porque $\mathrm{sen}{45}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. Como el seno es negativo, las soluciones están en el tercer y cuarto cuadrante:
$x_1={180}^{\circ }+{45}^{\circ }={225}^{\circ }{x}_2={360}^{\circ }-{45}^{\circ }={315}^{\circ }$
Solución general:
$x={225}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot kx={315}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot k$

e) Se resuelve $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$. El ángulo de referencia es ${60}^{\circ }$, porque $\cos {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Como el coseno es positivo, las soluciones están en el primer y cuarto cuadrante:
$x_1={60}^{\circ }{x}_2={360}^{\circ }-{60}^{\circ }={300}^{\circ }$
Solución general:
$x={60}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot kx={300}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot k$

f) Se resuelve $\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}$. El ángulo de referencia es ${60}^{\circ }$, porque $\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\sqrt{3}$. Como la tangente es negativa, las soluciones están en el segundo y cuarto cuadrante:
$x_1={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }{x}_2={360}^{\circ }-{60}^{\circ }={300}^{\circ }$
Como la tangente tiene periodo ${180}^{\circ }$, ambas familias se resumen en una sola:
$x={120}^{\circ }+{180}^{\circ }\cdot k$