Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Sabiendo que $\mathrm{tg}\alpha =-3$ y que ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <\pi$, calcular las restantes razones trigonométricas y comprobar el resultado.

Usamos la relación fundamental que liga la tangente con la secante (y, por tanto, con el coseno):

$1+{\mathrm{tg}}^2\alpha ={\sec }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }}$

y la definición de la tangente:

$\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}$

Como ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <\pi$, el ángulo está en el segundo cuadrante, donde el seno es positivo y el coseno es negativo.

Cálculo del coseno:

${\sec }^2\alpha =1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =1+(-3{)}^2=1+9=10$

${\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{{\sec }^2\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{10}}\Rightarrow \cos \alpha =\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}$

En el segundo cuadrante el coseno es negativo, por tanto:

$\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}}$

Cálculo del seno, a partir de la definición de la tangente:

$\mathrm{sen}\alpha =\mathrm{tg}\alpha \cdot \cos \alpha =(-3)\cdot (-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}})={\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{10}}$

El seno resulta positivo, como corresponde al segundo cuadrante.

Razones recíprocas:

$\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}\alpha }}={\displaystyle \frac{10}{3\sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3}}$

$\sec \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}=-\sqrt{10}$

$\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

Comprobación con la identidad fundamental:

${\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left({\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{10}}\right)}^2+{(-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}})}^2={\displaystyle \frac{90}{100}}+{\displaystyle \frac{10}{100}}={\displaystyle \frac{100}{100}}=1$

Se cumple la identidad, luego los resultados son correctos.