Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Sabiendo que $\mathrm{tg}\alpha =-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ y que $\alpha$ pertenece al cuarto cuadrante, calcular las restantes razones trigonométricas y comprobar el resultado hallando $\alpha$ con la calculadora.

Partimos de la relación entre la tangente y la secante:
${\sec }^2\alpha =1+{\mathrm{tg}}^2\alpha$

Como $\alpha$ está en el cuarto cuadrante, el coseno es positivo y el seno es negativo; la tangente es negativa, lo cual es coherente con el dato.

Cálculo del coseno a partir de la secante:
${\sec }^2\alpha =1+{(-{\displaystyle \frac{3}{4}})}^2=1+{\displaystyle \frac{9}{16}}={\displaystyle \frac{25}{16}}$

$\sec \alpha =\pm {\displaystyle \frac{5}{4}}$

En el cuarto cuadrante el coseno es positivo, luego tomamos el valor positivo:
$\sec \alpha ={\displaystyle \frac{5}{4}}⟹\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sec \alpha }}={\displaystyle \frac{4}{5}}$

Cálculo del seno usando la definición de la tangente $\mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}$:
$\mathrm{sen}\alpha =\mathrm{tg}\alpha \cdot \cos \alpha =(-{\displaystyle \frac{3}{4}})\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$

El seno resulta negativo, como corresponde al cuarto cuadrante.

Restantes razones (inversas):
$\mathrm{cosec}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}\alpha }}=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$

$\mathrm{cotg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$

Comprobación con la calculadora:
$\arctan \text{\hspace{0.17em}⁣}(-{\displaystyle \frac{3}{4}})=-{36}^{\circ }{52}^{\mathrm{\prime }}{12}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$

Como $\alpha$ está en el cuarto cuadrante, sumamos una vuelta completa:
$\alpha ={360}^{\circ }-{36}^{\circ }{52}^{\mathrm{\prime }}{12}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={323}^{\circ }{7}^{\mathrm{\prime }}{48}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$

Este ángulo está efectivamente en el cuarto cuadrante, lo que confirma el resultado.