Ejercicio resuelto de Estudio de funciones · Matemáticas I

Halla las ramas infinitas, cuando $x\to +\mathrm{\infty }$, de las siguientes funciones y representa la información que obtengas:

a) $f(x)=(x+2{)}^2$

b) $f(x)=x-x^2$

$\mathbf{\text{a)}}f(x)=(x+2{)}^2$

Es una parábola con coeficiente principal positivo, así que crece sin tope cuando $x$ se hace muy grande:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x+2{)}^2=+\mathrm{\infty }}$

Como el límite es infinito, la rama puede ser oblicua o parabólica. Comprobamos la pendiente:

${\displaystyle m=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(x+2{)}^2}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2+4x+4}{x}=+\mathrm{\infty }}$

Al salir $m=+\mathrm{\infty }$ (no es un número finito) no hay asíntota oblicua: se trata de una $\mathbf{\text{rama}}\mathbf{\text{parab}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{lica}}$ que sube hacia $+\mathrm{\infty }$.

$\mathbf{\text{b)}}f(x)=x-x^2$

Domina el término $-x^2$ (coeficiente principal negativo), por lo que la función decrece sin tope:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x-x^2)=-\mathrm{\infty }}$

Comprobamos de nuevo la pendiente:

${\displaystyle m=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x-x^2}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(1-x)=-\mathrm{\infty }}$

Como $m=-\mathrm{\infty }$, tampoco hay asíntota oblicua: es una $\mathbf{\text{rama}}\mathbf{\text{parab}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{lica}}$ que baja hacia $-\mathrm{\infty }$.

En la gráfica se ven las dos ramas infinitas: la parábola del apartado a) sube hacia $+\mathrm{\infty }$ y la del apartado b) baja hacia $-\mathrm{\infty }$.